MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resthauslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resthauslem 20977
Description: Lemma for resthaus 20982 and similar theorems. If the topological property 𝐴 is preserved under injective preimages, then property 𝐴 passes to subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resthauslem.1 (𝐽𝐴𝐽 ∈ Top)
resthauslem.2 ((𝐽𝐴 ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resthauslem ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem resthauslem
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽𝐴)
2 f1oi 6086 . . 3 ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1-onto→(𝑆 𝐽)
3 f1of1 6049 . . 3 (( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1-onto→(𝑆 𝐽) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽))
42, 3mp1i 13 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽))
5 inss2 3796 . . . . 5 (𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽
6 resabs1 5347 . . . . 5 ((𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽 → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) = ( I ↾ (𝑆 𝐽)))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) = ( I ↾ (𝑆 𝐽))
8 resthauslem.1 . . . . . . . 8 (𝐽𝐴𝐽 ∈ Top)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
10 eqid 2610 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
1110toptopon 20548 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
129, 11sylib 207 . . . . . 6 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
13 idcn 20871 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → ( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
1510cnrest 20899 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ (𝑆 𝐽) ⊆ 𝐽) → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
1614, 5, 15sylancl 693 . . . 4 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (( I ↾ 𝐽) ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
177, 16syl5eqelr 2693 . . 3 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
1810restin 20780 . . . 4 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) = (𝐽t (𝑆 𝐽)))
1918oveq1d 6564 . . 3 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽) = ((𝐽t (𝑆 𝐽)) Cn 𝐽))
2017, 19eleqtrrd 2691 . 2 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽))
21 resthauslem.2 . 2 ((𝐽𝐴 ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)):(𝑆 𝐽)–1-1→(𝑆 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝑆 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝑆) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
221, 4, 20, 21syl3anc 1318 1 ((𝐽𝐴𝑆𝑉) → (𝐽t 𝑆) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cin 3539  wss 3540   cuni 4372   I cid 4948  cres 5040  1-1wf1 5801  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  t crest 15904  Topctop 20517  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cn 20841
This theorem is referenced by:  restt0  20980  restt1  20981  resthaus  20982
  Copyright terms: Public domain W3C validator