Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmplvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmplvsca 19280
 Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmpl.s 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
ressmpl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1 (𝜑𝐼𝑉)
ressmpl.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ressmplvsca ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressmplvsca
StepHypRef Expression
1 ressmpl.u . . . . 5 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
2 eqid 2610 . . . . 5 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3 ressmpl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
51, 2, 3, 4mplbasss 19253 . . . 4 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
65sseli 3564 . . 3 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
7 eqid 2610 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8 ressmpl.h . . . 4 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
9 eqid 2610 . . . 4 ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
10 ressmpl.2 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
117, 8, 2, 4, 9, 10resspsrvsca 19239 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
126, 11sylanr2 683 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
13 fvex 6113 . . . . 5 (Base‘𝑈) ∈ V
143, 13eqeltri 2684 . . . 4 𝐵 ∈ V
151, 2, 3mplval2 19252 . . . . 5 𝑈 = ((𝐼 mPwSer 𝐻) ↾s 𝐵)
16 eqid 2610 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
1715, 16ressvsca 15855 . . . 4 (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠𝑈))
1814, 17ax-mp 5 . . 3 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠𝑈)
1918oveqi 6562 . 2 (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌)
20 fvex 6113 . . . . 5 (Base‘𝑆) ∈ V
21 ressmpl.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
22 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2321, 7, 22mplval2 19252 . . . . . 6 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
24 eqid 2610 . . . . . 6 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2523, 24ressvsca 15855 . . . . 5 ((Base‘𝑆) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠𝑆))
2620, 25ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠𝑆)
27 fvex 6113 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
289, 24ressvsca 15855 . . . . 5 ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
2927, 28ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
30 ressmpl.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
31 eqid 2610 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
3230, 31ressvsca 15855 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑃))
3314, 32ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑃)
3426, 29, 333eqtr3i 2640 . . 3 ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = ( ·𝑠𝑃)
3534oveqi 6562 . 2 (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌)
3612, 19, 353eqtr3g 2667 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696   ·𝑠 cvsca 15772  SubRingcsubrg 18599   mPwSer cmps 19172   mPoly cmpl 19174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-subg 17414  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-psr 19177  df-mpl 19179 This theorem is referenced by:  ressply1vsca  19423
 Copyright terms: Public domain W3C validator