Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resscat 16335
 Description: A category restricted to a smaller set of objects is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
resscat ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (𝐶s 𝑆) ∈ Cat)

Proof of Theorem resscat
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
21ressinbas 15763 . . 3 (𝑆𝑉 → (𝐶s 𝑆) = (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))
32adantl 481 . 2 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (𝐶s 𝑆) = (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))
4 eqid 2610 . . . 4 (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) = (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))
5 eqid 2610 . . . . 5 (Homf𝐶) = (Homf𝐶)
6 simpl 472 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → 𝐶 ∈ Cat)
7 inss2 3796 . . . . . 6 (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ (Base‘𝐶)
87a1i 11 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) ⊆ (Base‘𝐶))
91, 5, 6, 8fullsubc 16333 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) ∈ (Subcat‘𝐶))
104, 9subccat 16331 . . 3 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) ∈ Cat)
11 eqid 2610 . . . . . 6 (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) = (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))
121, 5, 6, 8, 11, 4fullresc 16334 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → ((Homf ‘(𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (Homf ‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))) ∧ (compf‘(𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (compf‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))))))
1312simpld 474 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (Homf ‘(𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (Homf ‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))))
1412simprd 478 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (compf‘(𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))) = (compf‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶)))))))
15 ovex 6577 . . . . 5 (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ V)
1713, 14, 16, 10catpropd 16192 . . 3 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → ((𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ Cat ↔ (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ ((𝑆 ∩ (Base‘𝐶)) × (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))))) ∈ Cat))
1810, 17mpbird 246 . 2 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (𝐶s (𝑆 ∩ (Base‘𝐶))) ∈ Cat)
193, 18eqeltrd 2688 1 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑆𝑉) → (𝐶s 𝑆) ∈ Cat)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  Catccat 16148  Homf chomf 16150  compfccomf 16151   ↾cat cresc 16291 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-hom 15793  df-cco 15794  df-cat 16152  df-cid 16153  df-homf 16154  df-comf 16155  df-ssc 16293  df-resc 16294  df-subc 16295 This theorem is referenced by:  ressffth  16421
 Copyright terms: Public domain W3C validator