Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescabs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescabs2 16317
 Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescabs2.c (𝜑𝐶𝑉)
rescabs2.j (𝜑𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
rescabs2.s (𝜑𝑆𝑊)
rescabs2.t (𝜑𝑇𝑆)
Assertion
Ref Expression
rescabs2 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽))

Proof of Theorem rescabs2
StepHypRef Expression
1 rescabs2.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑊)
2 rescabs2.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑆)
3 ressabs 15766 . . . 4 ((𝑆𝑊𝑇𝑆) → ((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶s 𝑇))
41, 2, 3syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶s 𝑇))
54oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → (((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
6 eqid 2610 . . 3 ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽)
7 ovex 6577 . . . 4 (𝐶s 𝑆) ∈ V
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐶s 𝑆) ∈ V)
91, 2ssexd 4733 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
10 rescabs2.j . . 3 (𝜑𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
116, 8, 9, 10rescval2 16311 . 2 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
12 eqid 2610 . . 3 (𝐶cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽)
13 rescabs2.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
1412, 13, 9, 10rescval2 16311 . 2 (𝜑 → (𝐶cat 𝐽) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
155, 11, 143eqtr4d 2654 1 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ⟨cop 4131   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ndxcnx 15692   sSet csts 15693   ↾s cress 15696  Hom chom 15779   ↾cat cresc 16291 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-resc 16294 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator