Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswccat 13383
 Description: The concatenation of two "repeated symbol words" with the same symbol is again a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswccat ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem repswccat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repswlen 13374 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
213adant3 1074 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
3 repswlen 13374 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑀 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
433adant2 1073 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
52, 4oveq12d 6567 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
65oveq2d 6565 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
7 simp1 1054 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑆𝑉)
87adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆𝑉)
9 simpl2 1058 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
102oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
1110eleq2d 2673 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
1211biimpa 500 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
138, 9, 123jca 1235 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
1413adantlr 747 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
15 repswsymb 13372 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
1614, 15syl 17 . . . 4 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
177ad2antrr 758 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆𝑉)
18 simpll3 1095 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
192, 4jca 553 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀))
20 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)))
2120anim1i 590 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
22 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
23 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
2422, 23anim12i 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2524ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
26 fzocatel 12399 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))
2721, 25, 26syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))
2827exp31 628 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
29283adant1 1072 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
30 oveq12 6558 . . . . . . . . . . 11 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
3130oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
3231eleq2d 2673 . . . . . . . . 9 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))))
33 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
3433eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
3534notbid 307 . . . . . . . . . . 11 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
3635adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
37 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝑥𝑁))
3837eleq1d 2672 . . . . . . . . . . 11 ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → ((𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
3938adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
4036, 39imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
4132, 40imbi12d 333 . . . . . . . 8 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀)))))
4229, 41syl5ibr 235 . . . . . . 7 (((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)))))
4319, 42mpcom 37 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))))
4443imp31 447 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))
45 repswsymb 13372 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
4617, 18, 44, 45syl3anc 1318 . . . 4 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
4716, 46ifeqda 4071 . . 3 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = 𝑆)
486, 47mpteq12dva 4662 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
49 ovex 6577 . . . 4 (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
50 ovex 6577 . . . 4 (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V
5149, 50pm3.2i 470 . . 3 ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V)
52 ccatfval 13211 . . 3 (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
5351, 52mp1i 13 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (#‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
54 nn0addcl 11205 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
55543adant1 1072 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
56 reps 13368 . . 3 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
577, 55, 56syl2anc 691 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
5848, 53, 573eqtr4d 2654 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979   ++ cconcat 13148   repeatS creps 13153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-concat 13156  df-reps 13161 This theorem is referenced by:  repswcshw  13409  repsw2  13541  repsw3  13542
 Copyright terms: Public domain W3C validator