Theorem renicax 1613

Description: A rederivation of nic-ax 1589 from lukshef-ax1 1610, proving that lukshef-ax1 1610 with nic-mp 1587 can be used as a complete axiomatization of propositional calculus. (Contributed by Anthony Hart, 31-Jul-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renicax	⊢ ((𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)) ⊼ ((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃)))))

Proof of Theorem renicax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lukshefth1 1611	. . . 4 ⊢ ((((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)))
2		lukshefth2 1612	. . . 4 ⊢ (((((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓))) ⊼ (((𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)) ⊼ (((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)))) ⊼ ((𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)) ⊼ (((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏))))))
3	1, 2	nic-mp 1587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)) ⊼ (((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏))))
4		lukshefth2 1612	. . . 4 ⊢ (((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃)))) ⊼ ((((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏))) ⊼ (((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)))))
5		lukshef-ax1 1610	. . . 4 ⊢ ((((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃)))) ⊼ ((((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏))) ⊼ (((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏))))) ⊼ (((𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)) ⊼ ((𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)))) ⊼ (((𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)) ⊼ (((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)))) ⊼ ((((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃)))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓))) ⊼ (((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃)))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)))))))
6	4, 5	nic-mp 1587	. . 3 ⊢ (((𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)) ⊼ (((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃))) ⊼ (𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)))) ⊼ ((((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃)))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓))) ⊼ (((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃)))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)))))
7	3, 6	nic-mp 1587	. 2 ⊢ (((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃)))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)))
8		lukshefth2 1612	. 2 ⊢ ((((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃)))) ⊼ (𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓))) ⊼ (((𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)) ⊼ ((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃))))) ⊼ ((𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)) ⊼ ((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃)))))))
9	7, 8	nic-mp 1587	1 ⊢ ((𝜑 ⊼ (𝜒 ⊼ 𝜓)) ⊼ ((𝜏 ⊼ (𝜏 ⊼ 𝜏)) ⊼ ((𝜃 ⊼ 𝜒) ⊼ ((𝜑 ⊼ 𝜃) ⊼ (𝜑 ⊼ 𝜃)))))

Syntax hints:   ⊼ wnan 1439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-an 385  df-nan 1440

This theorem is referenced by: (None)