Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexp1g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexp1g 13614
 Description: A relation composed once is itself. (Contributed by RP, 22-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexp1g (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)

Proof of Theorem relexp1g
Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-relexp 13609 . . 3 𝑟 = (𝑟 ∈ V, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)))
21a1i 11 . 2 (𝑅𝑉 → ↑𝑟 = (𝑟 ∈ V, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛))))
3 simprr 792 . . . . . 6 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑛 = 1)
4 ax-1ne0 9884 . . . . . . 7 1 ≠ 0
5 neeq1 2844 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
64, 5mpbiri 247 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → 𝑛 ≠ 0)
73, 6syl 17 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑛 ≠ 0)
87neneqd 2787 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → ¬ 𝑛 = 0)
98iffalsed 4047 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)) = (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛))
10 simprl 790 . . . . . 6 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑟 = 𝑅)
1110mpteq2dv 4673 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟) = (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))
1211seqeq3d 12671 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟)) = seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅)))
1312, 3fveq12d 6109 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛) = (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))‘1))
14 1z 11284 . . . 4 1 ∈ ℤ
15 eqidd 2611 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅) = (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))
16 eqidd 2611 . . . . 5 (((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) ∧ 𝑧 = 1) → 𝑅 = 𝑅)
17 1ex 9914 . . . . . 6 1 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 1 ∈ V)
19 simpl 472 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → 𝑅𝑉)
2015, 16, 18, 19fvmptd 6197 . . . 4 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → ((𝑧 ∈ V ↦ 𝑅)‘1) = 𝑅)
2114, 20seq1i 12677 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑅))‘1) = 𝑅)
229, 13, 213eqtrd 2648 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑟 = 𝑅𝑛 = 1)) → if(𝑛 = 0, ( I ↾ (dom 𝑟 ∪ ran 𝑟)), (seq1((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥𝑟)), (𝑧 ∈ V ↦ 𝑟))‘𝑛)) = 𝑅)
23 elex 3185 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
24 1nn0 11185 . . 3 1 ∈ ℕ0
2524a1i 11 . 2 (𝑅𝑉 → 1 ∈ ℕ0)
262, 22, 23, 25, 23ovmpt2d 6686 1 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643   I cid 4948  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816  ℕ0cn0 11169  seqcseq 12663  ↑𝑟crelexp 13608 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-relexp 13609 This theorem is referenced by:  dfid5  13615  dfid6  13616  relexpsucr  13617  relexp1d  13619  relexpsucnnl  13620  relexpsucl  13621  relexpcnv  13623  relexprelg  13626  relexpnndm  13629  relexpfld  13637  relexpaddnn  13639  relexpaddg  13641  dfrcl3  36986  relexp2  36988  iunrelexp0  37013  relexpxpnnidm  37014  corclrcl  37018  iunrelexpmin1  37019  trclrelexplem  37022  iunrelexpmin2  37023  relexp01min  37024  relexp0a  37027  relexpaddss  37029  dftrcl3  37031  cotrcltrcl  37036  trclimalb2  37037  trclfvdecomr  37039  dfrtrcl3  37044  corcltrcl  37050  cotrclrcl  37053
 Copyright terms: Public domain W3C validator