Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refdivmptfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem refdivmptfv 42138
 Description: The function value of a quotient of two functions into the real numbers. (Contributed by AV, 19-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
refdivmptfv (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)))

Proof of Theorem refdivmptfv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 ax-resscn 9872 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
32a1i 11 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
41, 3fssd 5970 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 id 22 . . . . . 6 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
62a1i 11 . . . . . 6 (𝐺:𝐴⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
75, 6fssd 5970 . . . . 5 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
8 id 22 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
94, 7, 83anim123i 1240 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉))
10 fdivmpt 42132 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
1211adantr 480 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
13 fveq2 6103 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
14 fveq2 6103 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑋))
1513, 14oveq12d 6567 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)))
1615adantl 481 . 2 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)))
17 simpr 476 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0))
18 ovex 6577 . . 3 ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)) ∈ V
1918a1i 11 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)) ∈ V)
2012, 16, 17, 19fvmptd 6197 1 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 /f 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋) / (𝐺𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   supp csupp 7182  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   / cdiv 10563   /f cfdiv 42129 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-supp 7183  df-fdiv 42130 This theorem is referenced by:  elbigolo1  42149
 Copyright terms: Public domain W3C validator