Theorem rdg0 7404

Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rdg.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rdg0	⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

Proof of Theorem rdg0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgdmlim 7400	. . . 4 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
2		limomss 6962	. . . 4 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
4		peano1 6977	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
5	3, 4	sselii 3565	. 2 ⊢ ∅ ∈ dom rec(𝐹, 𝐴)
6		eqid 2610	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥))))) = (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))
7		rdgvalg 7402	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝑦)))
8		rdg.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
9	6, 7, 8	tz7.44-1 7389	. 2 ⊢ (∅ ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)
10	5, 9	ax-mp 5	1 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  ∪ cuni 4372   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039  Lim wlim 5641  ‘cfv 5804  ωcom 6957  reccrdg 7392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393

This theorem is referenced by:  rdg0g  7410  seqomlem1  7432  seqomlem3  7434  om0  7484  oe0  7489  oev2  7490  r10  8514  aleph0  8772  ackbij2lem2  8945  ackbij2lem3  8946  rdgprc  30944  finxp0  32404  finxp1o  32405  finxpreclem4  32407  finxpreclem6  32409