Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1ord3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1ord3g 8525
 Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Theorem 3.3(i) of [BellMachover] p. 478. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ord3g ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))

Proof of Theorem r1ord3g
StepHypRef Expression
1 r1funlim 8512 . . . . . 6 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 477 . . . . 5 Lim dom 𝑅1
3 limord 5701 . . . . 5 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4 ordsson 6881 . . . . 5 (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4 dom 𝑅1 ⊆ On
65sseli 3564 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ∈ On)
75sseli 3564 . . 3 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
8 onsseleq 5682 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
96, 7, 8syl2an 493 . 2 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
10 r1ordg 8524 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
1110adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
12 r1tr 8522 . . . . 5 Tr (𝑅1𝐵)
13 trss 4689 . . . . 5 (Tr (𝑅1𝐵) → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵))
1511, 14syl6 34 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
16 fveq2 6103 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) = (𝑅1𝐵))
17 eqimss 3620 . . . . 5 ((𝑅1𝐴) = (𝑅1𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵))
1918a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 = 𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
2015, 19jaod 394 . 2 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
219, 20sylbid 229 1 ((𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  Tr wtr 4680  dom cdm 5038  Ord word 5639  Oncon0 5640  Lim wlim 5641  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  𝑅1cr1 8508 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-r1 8510 This theorem is referenced by:  r1ord3  8528  r1val1  8532  rankr1ag  8548  unwf  8556  rankelb  8570  rankonidlem  8574
 Copyright terms: Public domain W3C validator