Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r0sep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r0sep 21361
 Description: The separation property of an R0 space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
r0sep (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑜   𝐵,𝑜   𝑜,𝐽   𝑜,𝑋

Proof of Theorem r0sep
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝐽𝑧𝑤}) = (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝐽𝑧𝑤})
21isr0 21350 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ((KQ‘𝐽) ∈ Fre ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜))))
32biimpa 500 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)))
4 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑜𝐴𝑜))
54imbi1d 330 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ (𝐴𝑜𝑦𝑜)))
65ralbidv 2969 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜)))
74bibi1d 332 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ (𝐴𝑜𝑦𝑜)))
87ralbidv 2969 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜)))
96, 8imbi12d 333 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)) ↔ (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜))))
10 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝑜𝐵𝑜))
1110imbi2d 329 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝑜𝑦𝑜) ↔ (𝐴𝑜𝐵𝑜)))
1211ralbidv 2969 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜)))
1310bibi2d 331 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝑜𝑦𝑜) ↔ (𝐴𝑜𝐵𝑜)))
1413ralbidv 2969 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜)))
1512, 14imbi12d 333 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → ((∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜)) ↔ (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜))))
169, 15rspc2v 3293 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)) → (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜))))
173, 16mpan9 485 1 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  TopOnctopon 20518  Frect1 20921  KQckq 21306 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-topgen 15927  df-qtop 15990  df-top 20521  df-topon 20523  df-cld 20633  df-cn 20841  df-t1 20928  df-kq 21307 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator