Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusinv 17476
 Description: Value of the group inverse operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusgrp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusinv.v 𝑉 = (Base‘𝐺)
qusinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
qusinv.n 𝑁 = (invg𝐻)
Assertion
Ref Expression
qusinv ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qusinv
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 17449 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 subgrcl 17422 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4 qusinv.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝐺)
5 qusinv.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
64, 5grpinvcl 17290 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑉)
73, 6sylan 487 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑉)
8 qusgrp.h . . . . 5 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
9 eqid 2610 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10 eqid 2610 . . . . 5 (+g𝐻) = (+g𝐻)
118, 4, 9, 10qusadd 17474 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆))
127, 11mpd3an3 1417 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆))
13 eqid 2610 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
144, 9, 13, 5grprinv 17292 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
153, 14sylan 487 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
1615eceq1d 7670 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑋))](𝐺 ~QG 𝑆) = [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆))
178, 13qus0 17475 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g𝐻))
1817adantr 480 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g𝐻))
1912, 16, 183eqtrd 2648 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g𝐻))
208qusgrp 17472 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
2120adantr 480 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐻 ∈ Grp)
22 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
238, 4, 22quseccl 17473 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
248, 4, 22quseccl 17473 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝑉) → [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
257, 24syldan 486 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
26 eqid 2610 . . . 4 (0g𝐻) = (0g𝐻)
27 qusinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐻)
2822, 10, 26, 27grpinvid1 17293 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g𝐻)))
2921, 23, 25, 28syl3anc 1318 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆)) = (0g𝐻)))
3019, 29mpbird 246 1 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘[𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝐼𝑋)](𝐺 ~QG 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  [cec 7627  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923   /s cqus 15988  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  SubGrpcsubg 17411  NrmSGrpcnsg 17412   ~QG cqg 17413 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-0g 15925  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416 This theorem is referenced by:  qussub  17477
 Copyright terms: Public domain W3C validator