Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quotlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quotlem 23859
 Description: Lemma for properties of the polynomial quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
quotlem.8 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))
Assertion
Ref Expression
quotlem (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem quotlem
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plydiv.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plydiv.z . . . . 5 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
4 eqid 2610 . . . . . 6 (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
54quotval 23851 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
61, 2, 3, 5syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
7 plydiv.pl . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8 plydiv.tm . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
9 plydiv.rc . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
10 plydiv.m1 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
117, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4plydivalg 23858 . . . . . 6 (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
12 reurex 3137 . . . . . 6 (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
14 addcl 9897 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
1514adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
16 mulcl 9899 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
1716adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
18 reccl 10571 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
1918adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
20 neg1cn 11001 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22 plyssc 23760 . . . . . . 7 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2322, 1sseldi 3566 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
2422, 2sseldi 3566 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
2515, 17, 19, 21, 23, 24, 3, 4plydivalg 23858 . . . . 5 (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
26 id 22 . . . . . . 7 (((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
2726rgenw 2908 . . . . . 6 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
28 riotass2 6537 . . . . . 6 ((((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
2922, 27, 28mpanl12 714 . . . . 5 ((∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ∧ ∃!𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
3013, 25, 29syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) = (𝑞 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
316, 30eqtr4d 2647 . . 3 (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) = (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
32 riotacl2 6524 . . . 4 (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
3311, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
3431, 33eqeltrd 2688 . 2 (𝜑 → (𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))})
35 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐺𝑓 · 𝑞) = (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))
3635oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺))))
37 quotlem.8 . . . . . 6 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐹 quot 𝐺)))
3836, 37syl6eqr 2662 . . . . 5 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 𝑅)
3938eqeq1d 2612 . . . 4 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝𝑅 = 0𝑝))
4038fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
4140breq1d 4593 . . . 4 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
4239, 41orbi12d 742 . . 3 (𝑞 = (𝐹 quot 𝐺) → (((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
4342elrab 3331 . 2 ((𝐹 quot 𝐺) ∈ {𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∣ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))) < (deg‘𝐺))} ↔ ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
4434, 43sylib 207 1 (𝜑 → ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∃!wreu 2898  {crab 2900   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  0𝑝c0p 23242  Polycply 23744  degcdgr 23747   quot cquot 23849 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-0p 23243  df-ply 23748  df-coe 23750  df-dgr 23751  df-quot 23850 This theorem is referenced by:  quotcl  23860  quotdgr  23862
 Copyright terms: Public domain W3C validator