MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quartlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quartlem2 24385
Description: Closure lemmas for quart 24388. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quart.e (𝜑𝐸 = -(𝐴 / 4))
quart.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
quart.u (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
quart.v (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
quart.w (𝜑𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
Assertion
Ref Expression
quartlem2 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑊 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quartlem2
StepHypRef Expression
1 quart.u . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
2 quart.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 quart.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 quart.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 quart.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
6 quart.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
7 quart.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
8 quart.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8quart1cl 24381 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
109simp1d 1066 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
1110sqcld 12868 . . . 4 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
12 1nn0 11185 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
13 2nn 11062 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
1412, 13decnncl 11394 . . . . . 6 12 ∈ ℕ
1514nncni 10907 . . . . 5 12 ∈ ℂ
169simp3d 1068 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
17 mulcl 9899 . . . . 5 ((12 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (12 · 𝑅) ∈ ℂ)
1815, 16, 17sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → (12 · 𝑅) ∈ ℂ)
1911, 18addcld 9938 . . 3 (𝜑 → ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)) ∈ ℂ)
201, 19eqeltrd 2688 . 2 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
21 quart.v . . 3 (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
22 2cn 10968 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
23 3nn0 11187 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
24 expcl 12740 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
2510, 23, 24sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
26 mulcl 9899 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
2722, 25, 26sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
2827negcld 10258 . . . . 5 (𝜑 → -(2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
29 2nn0 11186 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
30 7nn 11067 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ
3129, 30decnncl 11394 . . . . . . 7 27 ∈ ℕ
3231nncni 10907 . . . . . 6 27 ∈ ℂ
339simp2d 1067 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
3433sqcld 12868 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑2) ∈ ℂ)
35 mulcl 9899 . . . . . 6 ((27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
3632, 34, 35sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
3728, 36subcld 10271 . . . 4 (𝜑 → (-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) ∈ ℂ)
38 7nn0 11191 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
3938, 13decnncl 11394 . . . . . 6 72 ∈ ℕ
4039nncni 10907 . . . . 5 72 ∈ ℂ
4110, 16mulcld 9939 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ)
42 mulcl 9899 . . . . 5 ((72 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
4340, 41, 42sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → (72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
4437, 43addcld 9938 . . 3 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) ∈ ℂ)
4521, 44eqeltrd 2688 . 2 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
46 quart.w . . 3 (𝜑𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
4745sqcld 12868 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉↑2) ∈ ℂ)
48 4cn 10975 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
49 expcl 12740 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
5020, 23, 49sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
51 mulcl 9899 . . . . . 6 ((4 ∈ ℂ ∧ (𝑈↑3) ∈ ℂ) → (4 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
5248, 50, 51sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
5347, 52subcld 10271 . . . 4 (𝜑 → ((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3))) ∈ ℂ)
5453sqrtcld 14024 . . 3 (𝜑 → (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))) ∈ ℂ)
5546, 54eqeltrd 2688 . 2 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
5620, 45, 553jca 1235 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑊 ∈ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  0cn0 11169  cdc 11369  cexp 12722  csqrt 13821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824
This theorem is referenced by:  quartlem3  24386  quart  24388
  Copyright terms: Public domain W3C validator