Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qaa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qaa 23882
 Description: Every rational number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
qaa (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem qaa
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qcn 11678 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 qsscn 11675 . . . . . . 7 ℚ ⊆ ℂ
3 1z 11284 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
4 zq 11670 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 1 ∈ ℚ
6 plyid 23769 . . . . . . 7 ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ) → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
72, 5, 6mp2an 704 . . . . . 6 Xp ∈ (Poly‘ℚ)
87a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
9 plyconst 23766 . . . . . 6 ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
102, 9mpan 702 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
11 qaddcl 11680 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
1211adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
13 qmulcl 11682 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
15 qnegcl 11681 . . . . . . 7 (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
165, 15ax-mp 5 . . . . . 6 -1 ∈ ℚ
1716a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
188, 10, 12, 14, 17plysub 23779 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ))
19 peano2cn 10087 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
201, 19syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
21 fnresi 5922 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
22 df-idp 23749 . . . . . . . . . . . 12 Xp = ( I ↾ ℂ)
2322fneq1i 5899 . . . . . . . . . . 11 (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
2421, 23mpbir 220 . . . . . . . . . 10 Xp Fn ℂ
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → Xp Fn ℂ)
26 fnconstg 6006 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ)
27 cnex 9896 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → ℂ ∈ V)
29 inidm 3784 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
3022fveq1i 6104 . . . . . . . . . . 11 (Xp‘(𝐴 + 1)) = (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1))
31 fvresi 6344 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
3230, 31syl5eq 2656 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
3332adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
34 fvconst2g 6372 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘(𝐴 + 1)) = 𝐴)
3525, 26, 28, 28, 29, 33, 34ofval 6804 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
3620, 35mpdan 699 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
37 ax-1cn 9873 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
38 pncan2 10167 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
391, 37, 38sylancl 693 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
4036, 39eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = 1)
41 ax-1ne0 9884 . . . . . . 7 1 ≠ 0
4241a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → 1 ≠ 0)
4340, 42eqnetrd 2849 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0)
44 ne0p 23767 . . . . 5 (((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0) → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
4520, 43, 44syl2anc 691 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
46 eldifsn 4260 . . . 4 ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝))
4718, 45, 46sylanbrc 695 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
4822fveq1i 6104 . . . . . . . 8 (Xp𝐴) = (( I ↾ ℂ)‘𝐴)
49 fvresi 6344 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝐴) = 𝐴)
5048, 49syl5eq 2656 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (Xp𝐴) = 𝐴)
5150adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Xp𝐴) = 𝐴)
52 fvconst2g 6372 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝐴) = 𝐴)
5325, 26, 28, 28, 29, 51, 52ofval 6804 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴𝐴))
541, 53mpdan 699 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴𝐴))
551subidd 10259 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴𝐴) = 0)
5654, 55eqtrd 2644 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0)
57 fveq1 6102 . . . . 5 (𝑓 = (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) → (𝑓𝐴) = ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴))
5857eqeq1d 2612 . . . 4 (𝑓 = (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) → ((𝑓𝐴) = 0 ↔ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0))
5958rspcev 3282 . . 3 (((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
6047, 56, 59syl2anc 691 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
61 elqaa 23881 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
621, 60, 61sylanbrc 695 1 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   I cid 4948   × cxp 5036   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146  ℤcz 11254  ℚcq 11664  0𝑝c0p 23242  Polycply 23744  Xpcidp 23745  𝔸caa 23873 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-0p 23243  df-ply 23748  df-idp 23749  df-coe 23750  df-dgr 23751  df-aa 23874 This theorem is referenced by:  qssaa  23883
 Copyright terms: Public domain W3C validator