Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsgsum 18201
 Description: Finite commutative sums in a power structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgsum.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgsum.z 0 = (0g𝑌)
pwsgsum.i (𝜑𝐼𝑉)
pwsgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
pwsgsum.r (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
pwsgsum.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
pwsgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
pwsgsum (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pwsgsum
StepHypRef Expression
1 pwsgsum.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
2 pwsgsum.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
3 pwsgsum.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
4 eqid 2610 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
53, 4pwsval 15969 . . . 4 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
61, 2, 5syl2anc 691 . . 3 (𝜑𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
76oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))))
8 fconstmpt 5085 . . . 4 (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥𝐼𝑅)
98oveq2i 6560 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥𝐼𝑅))
10 pwsgsum.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
11 eqid 2610 . . 3 (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
12 pwsgsum.j . . 3 (𝜑𝐽𝑊)
13 fvex 6113 . . . 4 (Scalar‘𝑅) ∈ V
1413a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
151adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
16 pwsgsum.f . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
17 pwsgsum.w . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
18 pwsgsum.z . . . . 5 0 = (0g𝑌)
196fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
2018, 19syl5eq 2656 . . . 4 (𝜑0 = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
2117, 20breqtrd 4609 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
229, 10, 11, 2, 12, 14, 15, 16, 21prdsgsum 18200 . 2 (𝜑 → (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
237, 22eqtrd 2644 1 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Xscprds 15929   ↑s cpws 15930  CMndccmn 18016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-cntz 17573  df-cmn 18018 This theorem is referenced by:  frlmgsum  19930  plypf1  23772
 Copyright terms: Public domain W3C validator