Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiagrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsdiagrhm 18636
 Description: Diagonal homomorphism into a structure power (Rings). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiagrhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsdiagrhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagrhm.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
pwsdiagrhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagrhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ Ring)
2 pwsdiagrhm.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
32pwsring 18438 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ Ring)
41, 3jca 553 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring))
5 ringgrp 18375 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6 pwsdiagrhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 pwsdiagrhm.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
82, 6, 7pwsdiagghm 17511 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
95, 8sylan 487 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
10 eqid 2610 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1110ringmgp 18376 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
12 eqid 2610 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)
1310, 6mgpbas 18318 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1412, 13, 7pwsdiagmhm 17192 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1511, 14sylan 487 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
16 eqidd 2611 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17 eqidd 2611 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
18 eqid 2610 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
19 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
20 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
21 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
22 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))
232, 10, 12, 18, 19, 20, 21, 22pwsmgp 18441 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))))
2423simpld 474 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
25 eqidd 2611 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧))
2623simprd 478 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
2726oveqdr 6573 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑧) = (𝑦(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑧))
2816, 17, 16, 24, 25, 27mhmpropd 17164 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐼)))
2915, 28eleqtrrd 2691 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
309, 29jca 553 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
3110, 18isrhm 18544 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
324, 30, 31sylanbrc 695 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768   ↑s cpws 15930  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156  Grpcgrp 17245   GrpHom cghm 17480  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370   RingHom crh 18535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-rnghom 18538 This theorem is referenced by:  evlsval2  19341
 Copyright terms: Public domain W3C validator