Theorem pwcdadom 8921

Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 9382. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwcdadom	⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem pwcdadom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canthwdom 8367	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴
2		0elpw 4760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴)
3	2	n0ii 3881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) = ∅
4		dom0 7973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅ ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) = ∅)
5	3, 4	mtbir 312	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅
6		cdafn 8874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +𝑐 Fn (V × V)
7		fndm 5904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( +𝑐 Fn (V × V) → dom +𝑐 = (V × V))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom +𝑐 = (V × V)
9	8	ndmov 6716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ∅)
10	9	breq2d 4595	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅))
11	5, 10	mtbiri 316	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
12	11	con4i 112	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
13	12	simpld 474	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
14		0ex 4718	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
15		xpsneng 7930	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
16	13, 14, 15	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
17		endom 7868	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≼ 𝐴)
18		domwdom 8362	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ≼ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴)
19		wdomtr 8363	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼* (𝐴 × {∅}) ∧ (𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴)
20	19	expcom 450	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴))
21	16, 17, 18, 20	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴 ≼* 𝐴))
22	1, 21	mtoi 189	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → ¬ 𝒫 𝐴 ≼* (𝐴 × {∅}))
23		pwcdaen 8890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
24	13, 13, 23	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
25		domen1 7987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)))
27	26	ibi 255	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
28		cdaval 8875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
29	12, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
30	27, 29	breqtrd 4609	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
31		unxpwdom 8377	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) → (𝒫 𝐴 ≼* (𝐴 × {∅}) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼* (𝐴 × {∅}) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
33	32	ord 391	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (¬ 𝒫 𝐴 ≼* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
34	22, 33	mpd 15	. 2 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
35	12	simprd 478	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
36		1on 7454	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ On
37		xpsneng 7930	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
38	35, 36, 37	sylancl 693	. 2 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
39		domentr 7901	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜}) ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
40	34, 38, 39	syl2anc 691	1 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≼^* cwdom 8345   +_𝑐 ccda 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-wdom 8347  df-cda 8873

This theorem is referenced by:  gchdomtri  9330  gchpwdom  9371  gchhar  9380