Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdadom Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 9382. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdadom (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)

Proof of Theorem pwcdadom
StepHypRef Expression
1 canthwdom 8367 . . . 4 ¬ 𝒫 𝐴* 𝐴
2 0elpw 4760 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴)
32n0ii 3881 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) = ∅
4 dom0 7973 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅ ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) = ∅)
53, 4mtbir 312 . . . . . . . . 9 ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅
6 cdafn 8874 . . . . . . . . . . . 12 +𝑐 Fn (V × V)
7 fndm 5904 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑐 Fn (V × V) → dom +𝑐 = (V × V))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 dom +𝑐 = (V × V)
98ndmov 6716 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ∅)
109breq2d 4595 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅))
115, 10mtbiri 316 . . . . . . . 8 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
1211con4i 112 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1312simpld 474 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
14 0ex 4718 . . . . . 6 ∅ ∈ V
15 xpsneng 7930 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
1613, 14, 15sylancl 693 . . . . 5 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
17 endom 7868 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≼ 𝐴)
18 domwdom 8362 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ≼ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴)
19 wdomtr 8363 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) ∧ (𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴)
2019expcom 450 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
2116, 17, 18, 204syl 19 . . . 4 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
221, 21mtoi 189 . . 3 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → ¬ 𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}))
23 pwcdaen 8890 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
2413, 13, 23syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
25 domen1 7987 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)))
2726ibi 255 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
28 cdaval 8875 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
2912, 28syl 17 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
3027, 29breqtrd 4609 . . . . 5 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
31 unxpwdom 8377 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
3332ord 391 . . 3 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (¬ 𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
3422, 33mpd 15 . 2 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
3512simprd 478 . . 3 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
36 1on 7454 . . 3 1𝑜 ∈ On
37 xpsneng 7930 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
3835, 36, 37sylancl 693 . 2 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
39 domentr 7901 . 2 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜}) ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
4034, 38, 39syl2anc 691 1 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≼* cwdom 8345   +𝑐 ccda 8872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-wdom 8347  df-cda 8873 This theorem is referenced by:  gchdomtri  9330  gchpwdom  9371  gchhar  9380
 Copyright terms: Public domain W3C validator