Theorem pthdlem2lem 40973

Description: Lemma for pthdlem2 40974. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pthd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
pthd.r	⊢ 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
pthd.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
pthdlem2lem	⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
2	1	3ad2ant1 1075	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
3		ralcom 3079	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
4		elfzo1 12385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅))
5		nnne0 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
6	5	necomd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑗)
7	6	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
8	4, 7	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 0 ≠ 𝑗)
10		neeq1 2844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 ≠ 𝑗 ↔ 0 ≠ 𝑗))
11	9, 10	syl5ibr 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 0 → (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗))
12	11	expd 451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = 0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
13		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
15		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
17	14, 16	ltlend 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅 ↔ (𝑗 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≠ 𝑗)))
18		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 ≠ 𝑗) → 𝑅 ≠ 𝑗)
19	17, 18	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅 → 𝑅 ≠ 𝑗))
20	19	3impia 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 𝑅 ≠ 𝑗)
21	4, 20	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝑅 ≠ 𝑗)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝑅 ≠ 𝑗)
23		neeq1 2844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (𝐼 ≠ 𝑗 ↔ 𝑅 ≠ 𝑗))
24	22, 23	syl5ibr 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗))
25	24	expd 451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
26	12, 25	jaoi 393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗)))
27	26	impcom 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗))
28	27	3adant1 1072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼 ≠ 𝑗))
29	28	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝑗)
30		lbfzo0 12375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ (#‘𝑃) ∈ ℕ)
31	30	biimpri 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
32		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^(#‘𝑃))))
33	31, 32	syl5ibr 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃))))
34		pthd.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
35		fzo0end 12426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑃)))
36	34, 35	syl5eqel 2692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
37		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 𝑅 ∈ (0..^(#‘𝑃))))
38	36, 37	syl5ibr 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = 𝑅 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃))))
39	33, 38	jaoi 393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃))))
40	39	impcom 445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
41	40	3adant1 1072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
43		neeq1 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ≠ 𝑗 ↔ 𝐼 ≠ 𝑗))
44		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝐼))
45	44	neeq1d 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗)))
46	43, 45	imbi12d 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
47	46	rspcv 3278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
48	42, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝐼 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗))))
49	29, 48	mpid 43	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗)))
50		nesym 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
51	49, 50	syl6ib 240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
52	51	ralimdva 2945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
53	3, 52	syl5bi 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
54	2, 53	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
55		ralnex 2975	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
56	54, 55	sylib 207	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
57		pthd.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
58		wrdf 13165	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶V)
59		ffun 5961	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶V → Fun 𝑃)
60	57, 58, 59	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑃)
61	60	3ad2ant1 1075	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → Fun 𝑃)
62		fvelima 6158	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅))) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼))
63	62	ex 449	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑃 → ((𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
64	61, 63	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ((𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐼)))
65	56, 64	mtod 188	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
66		df-nel 2783	. 2 ⊢ ((𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ↔ ¬ (𝑃‘𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
67	65, 66	sylibr 223	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃‘𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∉ wnel 2781  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154

This theorem is referenced by:  pthdlem2  40974