Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pthdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem2 40974
 Description: Lemma 2 for pthd 40975. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem2 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2
StepHypRef Expression
1 pthd.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 lencl 13179 . . . 4 (𝑃 ∈ Word V → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
3 df-ne 2782 . . . . 5 ((#‘𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (#‘𝑃) = 0)
4 elnnne0 11183 . . . . . 6 ((#‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 0))
54simplbi2 653 . . . . 5 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ≠ 0 → (#‘𝑃) ∈ ℕ))
63, 5syl5bir 232 . . . 4 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑃) = 0 → (#‘𝑃) ∈ ℕ))
71, 2, 63syl 18 . . 3 (𝜑 → (¬ (#‘𝑃) = 0 → (#‘𝑃) ∈ ℕ))
8 eqid 2610 . . . . . . 7 0 = 0
98orci 404 . . . . . 6 (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)
10 pthd.r . . . . . . 7 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
11 pthd.s . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
121, 10, 11pthdlem2lem 40973 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
139, 12mp3an3 1405 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
14 eqid 2610 . . . . . . 7 𝑅 = 𝑅
1514olci 405 . . . . . 6 (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)
161, 10, 11pthdlem2lem 40973 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)) → (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
1715, 16mp3an3 1405 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
18 wrdffz 13181 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0...((#‘𝑃) − 1))⟶V)
191, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃:(0...((#‘𝑃) − 1))⟶V)
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...((#‘𝑃) − 1))⟶V)
2110oveq2i 6560 . . . . . . . 8 (0...𝑅) = (0...((#‘𝑃) − 1))
2221feq2i 5950 . . . . . . 7 (𝑃:(0...𝑅)⟶V ↔ 𝑃:(0...((#‘𝑃) − 1))⟶V)
2320, 22sylibr 223 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...𝑅)⟶V)
24 nnm1nn0 11211 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
2510, 24syl5eqel 2692 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℕ0)
2625adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27 fvinim0ffz 12449 . . . . . 6 ((𝑃:(0...𝑅)⟶V ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
2823, 26, 27syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
2913, 17, 28mpbir2and 959 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
3029ex 449 . . 3 (𝜑 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
317, 30syld 46 . 2 (𝜑 → (¬ (#‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
32 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) = 0 → ((#‘𝑃) − 1) = (0 − 1))
3310, 32syl5eq 2656 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) = 0 → 𝑅 = (0 − 1))
3433oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = (1..^(0 − 1)))
35 0le2 10988 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
36 1p1e2 11011 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
3735, 36breqtrri 4610 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 + 1)
38 0re 9919 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
39 1re 9918 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
4038, 39, 39lesubadd2i 10467 . . . . . . . . 9 ((0 − 1) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + 1))
4137, 40mpbir 220 . . . . . . . 8 (0 − 1) ≤ 1
42 1z 11284 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
43 0z 11265 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
44 peano2zm 11297 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 − 1) ∈ ℤ
46 fzon 12358 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅))
4742, 45, 46mp2an 704 . . . . . . . 8 ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅)
4841, 47mpbi 219 . . . . . . 7 (1..^(0 − 1)) = ∅
4934, 48syl6eq 2660 . . . . . 6 ((#‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = ∅)
5049imaeq2d 5385 . . . . 5 ((#‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = (𝑃 “ ∅))
51 ima0 5400 . . . . 5 (𝑃 “ ∅) = ∅
5250, 51syl6eq 2660 . . . 4 ((#‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = ∅)
5352ineq2d 3776 . . 3 ((#‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅))
54 in0 3920 . . 3 ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅) = ∅
5553, 54syl6eq 2660 . 2 ((#‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
5631, 55pm2.61d2 171 1 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∉ wnel 2781  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154 This theorem is referenced by:  pthd  40975
 Copyright terms: Public domain W3C validator