Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdepisspth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdepisspth 26104
 Description: A path with different start and end points is a simple path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
pthdepisspth ((𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃)

Proof of Theorem pthdepisspth
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑝 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pth 26038 . . . . 5 Paths = (𝑣 ∈ V, 𝑒 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑣 Trails 𝑒)𝑝 ∧ Fun (𝑝 ↾ (1..^(#‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (#‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(#‘𝑓)))) = ∅)})
21brovmpt2ex 7236 . . . 4 (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
3 ispth 26098 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))
4 simp-4l 802 . . . . . . . . 9 (((((𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃)
5 trliswlk 26069 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
6 2mwlk 26049 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉))
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉))
8 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
98ad5antr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
10 simp-5r 805 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
11 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
12 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))
1310, 11, 123jca 1235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
14 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
15 injresinj 12451 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → Fun 𝑃)))
169, 13, 14, 15syl3c 64 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → Fun 𝑃)
1716exp31 628 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → Fun 𝑃)))
187, 17sylanl1 680 . . . . . . . . . 10 (((𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → Fun 𝑃)))
1918imp31 447 . . . . . . . . 9 (((((𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → Fun 𝑃)
204, 19jca 553 . . . . . . . 8 (((((𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
2120exp31 628 . . . . . . 7 (((𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃))))
22213impa 1251 . . . . . 6 ((𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃))))
2322com12 32 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃))))
243, 23sylbid 229 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃))))
252, 24mpcom 37 . . 3 (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
2625imp 444 . 2 ((𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
272adantr 480 . . 3 ((𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
28 isspth 26099 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
2927, 28syl 17 . 2 ((𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
3026, 29mpbird 246 1 ((𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   Walks cwalk 26026   Trails ctrail 26027   Paths cpath 26028   SPaths cspath 26029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-spth 26039 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator