Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrnegcl 19217
 Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psrnegcl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrnegcl.i 𝑁 = (invg𝑅)
psrnegcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrnegcl.z (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrnegcl (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrnegcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 psrnegcl.i . . . . . 6 𝑁 = (invg𝑅)
3 psrgrp.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
41, 2, 3grpinvf1o 17308 . . . . 5 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅))
5 f1of 6050 . . . . 5 (𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
7 psrgrp.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8 psrnegcl.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9 psrnegcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 psrnegcl.z . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
117, 1, 8, 9, 10psrelbas 19200 . . . 4 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12 fco 5971 . . . 4 ((𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅)) → (𝑁𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
136, 11, 12syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
14 fvex 6113 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
15 ovex 6577 . . . . 5 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
168, 15rabex2 4742 . . . 4 𝐷 ∈ V
1714, 16elmap 7772 . . 3 ((𝑁𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝑁𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1813, 17sylibr 223 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
19 psrgrp.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
207, 1, 8, 9, 19psrbas 19199 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
2118, 20eleqtrrd 2691 1 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  ◡ccnv 5037   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246   mPwSer cmps 19172 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-psr 19177 This theorem is referenced by:  psrlinv  19218  psrgrp  19219  psrneg  19221
 Copyright terms: Public domain W3C validator