Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrmulval 19207
 Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m · = (.r𝑅)
psrmulr.t = (.r𝑆)
psrmulr.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrmulfval.i (𝜑𝐹𝐵)
psrmulfval.r (𝜑𝐺𝐵)
psrmulval.r (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
psrmulval (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑦,𝑘,𝐷   ,𝑘,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   · ,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,)   𝐵(𝑦,)   𝐷()   𝑅(𝑦,)   𝑆(𝑦,,𝑘)   (𝑦,,𝑘)   · (𝑦,)   𝐹(𝑦,)   𝐺(𝑦,)   𝑋()

Proof of Theorem psrmulval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrmulr.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 psrmulr.m . . . 4 · = (.r𝑅)
4 psrmulr.t . . . 4 = (.r𝑆)
5 psrmulr.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 psrmulfval.i . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
7 psrmulfval.r . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7psrmulfval 19206 . . 3 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘)))))))
98fveq1d 6105 . 2 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘))))))‘𝑋))
10 psrmulval.r . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
11 breq2 4587 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦𝑟𝑥𝑦𝑟𝑋))
1211rabbidv 3164 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} = {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋})
13 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑓𝑘) = (𝑋𝑓𝑘))
1413fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘)) = (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘)))
1514oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘))))
1612, 15mpteq12dv 4663 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘)))))
1716oveq2d 6565 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘))))))
18 eqid 2610 . . . 4 (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘))))))
19 ovex 6577 . . . 4 (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘))))) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6191 . . 3 (𝑋𝐷 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘))))))‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘))))))
2110, 20syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘))))))‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘))))))
229, 21eqtrd 2644 1 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ∘𝑟 cofr 6794   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  .rcmulr 15769   Σg cgsu 15924   mPwSer cmps 19172 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-psr 19177 This theorem is referenced by:  psrlidm  19224  psrridm  19225  psrass1  19226  mplsubrglem  19260
 Copyright terms: Public domain W3C validator