Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1baslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr1baslem 19376
 Description: The set of finite bags on 1𝑜 is just the set of all functions from 1𝑜 to ℕ0. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
psr1baslem (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Proof of Theorem psr1baslem
StepHypRef Expression
1 rabid2 3096 . 2 ((ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
2 df1o2 7459 . . . 4 1𝑜 = {∅}
3 snfi 7923 . . . 4 {∅} ∈ Fin
42, 3eqeltri 2684 . . 3 1𝑜 ∈ Fin
5 cnvimass 5404 . . . 4 (𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
6 elmapi 7765 . . . . 5 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → 𝑓:1𝑜⟶ℕ0)
7 fdm 5964 . . . . 5 (𝑓:1𝑜⟶ℕ0 → dom 𝑓 = 1𝑜)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → dom 𝑓 = 1𝑜)
95, 8syl5sseq 3616 . . 3 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝑓 “ ℕ) ⊆ 1𝑜)
10 ssfi 8065 . . 3 ((1𝑜 ∈ Fin ∧ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 1𝑜) → (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
114, 9, 10sylancr 694 . 2 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
121, 11mprgbir 2911 1 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   “ cima 5041  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-fin 7845 This theorem is referenced by:  psr1bas  19382  ply1basf  19393  ply1plusgfvi  19433  coe1z  19454  coe1mul2  19460  coe1tm  19464  ply1coe  19487  deg1ldg  23656  deg1leb  23659  deg1val  23660
 Copyright terms: Public domain W3C validator