Theorem psr1baslem 19376

Description: The set of finite bags on 1_𝑜 is just the set of all functions from 1_𝑜 to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
psr1baslem	⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Proof of Theorem psr1baslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabid2 3096	. 2 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
2		df1o2 7459	. . . 4 ⊢ 1𝑜 = {∅}
3		snfi 7923	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
4	2, 3	eqeltri 2684	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ Fin
5		cnvimass 5404	. . . 4 ⊢ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
6		elmapi 7765	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → 𝑓:1𝑜⟶ℕ0)
7		fdm 5964	. . . . 5 ⊢ (𝑓:1𝑜⟶ℕ0 → dom 𝑓 = 1𝑜)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → dom 𝑓 = 1𝑜)
9	5, 8	syl5sseq 3616	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 1𝑜)
10		ssfi 8065	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ∈ Fin ∧ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 1𝑜) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
11	4, 9, 10	sylancr 694	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
12	1, 11	mprgbir 2911	1 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038   “ cima 5041  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-fin 7845

This theorem is referenced by:  psr1bas  19382  ply1basf  19393  ply1plusgfvi  19433  coe1z  19454  coe1mul2  19460  coe1tm  19464  ply1coe  19487  deg1ldg  23656  deg1leb  23659  deg1val  23660