Theorem psr1 19233

Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1.u	⊢ 𝑈 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr1	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psr1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		psrring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		psr1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		psr1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		psr1.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7		eqid 2610	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
8		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	psr1cl 19223	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆))
10	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
11	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
13		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
14	1, 10, 11, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13	psrlidm 19224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦)
15	1, 10, 11, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13	psrridm 19225	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)
16	14, 15	jca 553	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦))
17	16	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦))
18	1, 2, 3	psrring 19232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
19		psr1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (1r‘𝑆)
20	8, 12, 19	isringid 18396	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)) ↔ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
21	18, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)) ↔ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
22	9, 17, 21	mpbi2and 958	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037   “ cima 5041  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  0cc0 9815  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769  0_gc0g 15923  1_rcur 18324  Ringcrg 18370   mPwSer cmps 19172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-psr 19177

This theorem is referenced by:  subrgpsr  19240  mplsubrg  19261  mpl1  19265