Mathbox for Filip Cernatescu < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  problem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem problem5 30817
 Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 4612 mpbi 219 breqtri 4608 ltaddsubi 10468 remulcli 9933 2re 10967 3re 10971 9re 10984 eqcomi 2619 mvlladdi 10178 3cn 6cn 10979 eqtr3i 2634 6p3e9 11047 addcomi 10106 ltdiv1ii 10832 6re 10978 nngt0i 10931 2nn 11062 divcan3i 10650 recni 9931 2cn 10968 2ne0 10990 mpbir 220 eqtri 2632 mulcomi 9925 3t2e6 11056 divmuli 10658. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
problem5.1 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2 ((2 · 𝐴) + 3) < 9
Assertion
Ref Expression
problem5 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5
StepHypRef Expression
1 problem5.2 . . . . 5 ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2 2re 10967 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 problem5.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℝ
42, 3remulcli 9933 . . . . . 6 (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5 3re 10971 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
6 9re 10984 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
74, 5, 6ltaddsubi 10468 . . . . 5 (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
81, 7mpbi 219 . . . 4 (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9 3cn 10972 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
10 6cn 10979 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
11 6p3e9 11047 . . . . . . . 8 (6 + 3) = 9
1210, 9addcomi 10106 . . . . . . . 8 (6 + 3) = (3 + 6)
1311, 12eqtr3i 2634 . . . . . . 7 9 = (3 + 6)
1413eqcomi 2619 . . . . . 6 (3 + 6) = 9
159, 10, 14mvlladdi 10178 . . . . 5 6 = (9 − 3)
1615eqcomi 2619 . . . 4 (9 − 3) = 6
178, 16breqtri 4608 . . 3 (2 · 𝐴) < 6
18 6re 10978 . . . 4 6 ∈ ℝ
19 2nn 11062 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2019nngt0i 10931 . . . 4 0 < 2
214, 18, 2, 20ltdiv1ii 10832 . . 3 ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
2217, 21mpbi 219 . 2 ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
233recni 9931 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
24 2cn 10968 . . 3 2 ∈ ℂ
25 2ne0 10990 . . 3 2 ≠ 0
2623, 24, 25divcan3i 10650 . 2 ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
2724, 9mulcomi 9925 . . . 4 (2 · 3) = (3 · 2)
28 3t2e6 11056 . . . 4 (3 · 2) = 6
2927, 28eqtri 2632 . . 3 (2 · 3) = 6
3010, 24, 9, 25divmuli 10658 . . 3 ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
3129, 30mpbir 220 . 2 (6 / 2) = 3
3222, 26, 313brtr3i 4612 1 𝐴 < 3
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  3c3 10948  6c6 10951  9c9 10954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator