Users' Mathboxes Mathbox for Filip Cernatescu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  problem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem problem4 30816
Description: Practice problem 4. Clues: pm3.2i 470 eqcomi 2619 eqtri 2632 subaddrii 10249 recni 9931 7re 10980 6re 10978 ax-1cn 9873 df-7 10961 ax-mp 5 oveq1i 6559 3cn 10972 2cn 10968 df-3 10957 mulid2i 9922 subdiri 10359 mp3an 1416 mulcli 9924 subadd23 10172 oveq2i 6560 oveq12i 6561 3t2e6 11056 mulcomi 9925 subcli 10236 biimpri 217 subadd2i 10248. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
problem4.1 𝐴 ∈ ℂ
problem4.2 𝐵 ∈ ℂ
problem4.3 (𝐴 + 𝐵) = 3
problem4.4 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
Assertion
Ref Expression
problem4 (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Proof of Theorem problem4
StepHypRef Expression
1 7re 10980 . . . . . . 7 7 ∈ ℝ
21recni 9931 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
3 6re 10978 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
43recni 9931 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
5 ax-1cn 9873 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
6 df-7 10961 . . . . . . 7 7 = (6 + 1)
76eqcomi 2619 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
82, 4, 5, 7subaddrii 10249 . . . . 5 (7 − 6) = 1
98eqcomi 2619 . . . 4 1 = (7 − 6)
10 3cn 10972 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
11 2cn 10968 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
12 df-3 10957 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
1312eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = 3
1410, 11, 5, 13subaddrii 10249 . . . . . . . . . . . 12 (3 − 2) = 1
1514oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 ((3 − 2) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
16 problem4.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ ℂ
1716mulid2i 9922 . . . . . . . . . . 11 (1 · 𝐴) = 𝐴
1815, 17eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 ((3 − 2) · 𝐴) = 𝐴
1918eqcomi 2619 . . . . . . . . 9 𝐴 = ((3 − 2) · 𝐴)
2010, 11, 16subdiri 10359 . . . . . . . . 9 ((3 − 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
2119, 20eqtri 2632 . . . . . . . 8 𝐴 = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
2221oveq1i 6559 . . . . . . 7 (𝐴 + 6) = (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6)
2310, 16mulcli 9924 . . . . . . . . 9 (3 · 𝐴) ∈ ℂ
2411, 16mulcli 9924 . . . . . . . . 9 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
25 subadd23 10172 . . . . . . . . 9 (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))))
2623, 24, 4, 25mp3an 1416 . . . . . . . 8 (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
27 3t2e6 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
2816, 11mulcomi 9925 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
2927, 28oveq12i 6561 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (6 − (2 · 𝐴))
3029eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . 12 (6 − (2 · 𝐴)) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
3110, 16, 11subdiri 10359 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 𝐴) · 2) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
3231eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = ((3 − 𝐴) · 2)
3310, 16subcli 10236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 − 𝐴) ∈ ℂ
3411, 33mulcomi 9925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · (3 − 𝐴)) = ((3 − 𝐴) · 2)
3534eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · (3 − 𝐴))
36 problem4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 ∈ ℂ
37 problem4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 + 𝐵) = 3
3810, 16, 36, 37subaddrii 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 − 𝐴) = 𝐵
3938eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (3 − 𝐴)
4039oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 𝐵) = (2 · (3 − 𝐴))
4140eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (3 − 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4235, 41eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · 𝐵)
4332, 42eqtri 2632 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (2 · 𝐵)
4430, 43eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 (6 − (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4544eqcomi 2619 . . . . . . . . . 10 (2 · 𝐵) = (6 − (2 · 𝐴))
4645oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
4746eqcomi 2619 . . . . . . . 8 ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
4826, 47eqtri 2632 . . . . . . 7 (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
4922, 48eqtri 2632 . . . . . 6 (𝐴 + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
50 problem4.4 . . . . . 6 ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
5149, 50eqtri 2632 . . . . 5 (𝐴 + 6) = 7
522, 4, 16subadd2i 10248 . . . . . 6 ((7 − 6) = 𝐴 ↔ (𝐴 + 6) = 7)
5352biimpri 217 . . . . 5 ((𝐴 + 6) = 7 → (7 − 6) = 𝐴)
5451, 53ax-mp 5 . . . 4 (7 − 6) = 𝐴
559, 54eqtri 2632 . . 3 1 = 𝐴
5655eqcomi 2619 . 2 𝐴 = 1
5756oveq2i 6560 . . . 4 (3 − 𝐴) = (3 − 1)
5810, 5, 11subadd2i 10248 . . . . . 6 ((3 − 1) = 2 ↔ (2 + 1) = 3)
5958biimpri 217 . . . . 5 ((2 + 1) = 3 → (3 − 1) = 2)
6013, 59ax-mp 5 . . . 4 (3 − 1) = 2
6157, 60eqtri 2632 . . 3 (3 − 𝐴) = 2
6239, 61eqtri 2632 . 2 𝐵 = 2
6356, 62pm3.2i 470 1 (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6549  cc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  6c6 10951  7c7 10952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator