Theorem prmgaplem5 15597

Description: Lemma for prmgap 15601: for each integer greater than 2 there is a smaller prime closest to this integer, i.e. there is a smaller prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem5	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem5

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 3328	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 ∈ ℙ)
2	1	ad2antlr 759	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℙ)
3		breq1 4586	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 𝑟 < 𝑁))
4		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 + 1) = (𝑟 + 1))
5	4	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 + 1)..^𝑁) = ((𝑟 + 1)..^𝑁))
6	5	raleqdv 3121	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
7	3, 6	anbi12d 743	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) ∧ 𝑝 = 𝑟) → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
9		breq1 4586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑁 ↔ 𝑟 < 𝑁))
10	9	elrab 3331	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 < 𝑁))
11	10	simprbi 479	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 < 𝑁)
12	11	ad2antlr 759	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑟 < 𝑁)
13		elfzo2 12342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))
14		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℙ)
15		simpr3 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 < 𝑁)
16		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑁 ↔ 𝑧 < 𝑁))
17	16	elrab 3331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 < 𝑁))
18	14, 15, 17	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
19	18	adantrl 748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
20		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ↔ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
21		prmz 15227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
22		zltp1le 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
23	21, 22	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
24		prmnn 15226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℕ)
25	24	nnred 10912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℝ)
26		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
27		ltnle 9996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
28	27	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
29	25, 26, 28	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
30		pm2.21 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑧 ≤ 𝑟 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
31	29, 30	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
32	23, 31	sylbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
33	32	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑟 ∈ ℙ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))))
34	33	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))))
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))))
36	35	3imp 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
37	20, 36	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
38	37	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
39	1, 38	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
41	40	imp 444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
43	19, 42	embantd 57	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
44	43	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
45		df-nel 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
46		ax-1 6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
47	46	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
48	45, 47	sylbir 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
49	44, 48	pm2.61i 175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
50	49	impancom 455	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟)) → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
51	13, 50	syl5bi 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟)) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
52	51	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ)))
53	52	ralimdv2 2944	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟 → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
54	53	imp 444	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)
55	12, 54	jca 553	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
56	2, 8, 55	rspcedvd 3289	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
57		eqid 2610	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}
58	57	prmgaplem3 15595	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟)
59	56, 58	r19.29a 3060	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954  3c3 10948  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ..^cfzo 12334  ℙcprime 15223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224

This theorem is referenced by:  prmgaplem7  15599