Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof 40036
 Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdvdsfmtnof.1 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
Distinct variable group:   𝑓,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfmtnof.1 . 2 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ))
2 fmtnorn 39984 . . 3 (𝑓 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑓)
3 ltso 9997 . . . . . 6 < Or ℝ
43a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → < Or ℝ)
5 fmtnoge3 39980 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3))
65adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3))
7 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 ((FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘3)))
87adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘3)))
96, 8mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ‘3))
10 uzuzle23 11605 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℤ‘3) → 𝑓 ∈ (ℤ‘2))
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ‘2))
12 eluz2nn 11602 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (ℤ‘2) → 𝑓 ∈ ℕ)
13 prmdvdsfi 24633 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ∈ Fin)
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ∈ Fin)
15 uzuzle23 11605 . . . . . . . . . 10 ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
165, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
18 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 ((FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘2)))
1918adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘2)))
2017, 19mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ‘2))
21 exprmfct 15254 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑓)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑓)
23 rabn0 3912 . . . . . 6 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑓)
2422, 23sylibr 223 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ≠ ∅)
25 ssrab2 3650 . . . . . . 7 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℙ
26 prmssnn 15228 . . . . . . . 8 ℙ ⊆ ℕ
27 nnssre 10901 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℝ
2826, 27sstri 3577 . . . . . . 7 ℙ ⊆ ℝ
2925, 28sstri 3577 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℝ
3029a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℝ)
31 fiinfcl 8290 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓})
3225, 31sseldi 3566 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
334, 14, 24, 30, 32syl13anc 1320 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
3433rexlimiva 3010 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
352, 34sylbi 206 . 2 (𝑓 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
361, 35fmpti 6291 1 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   Or wor 4958  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  infcinf 8230  ℝcr 9814   < clt 9953  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223  FermatNocfmtno 39977 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-fmtno 39978 This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  40037
 Copyright terms: Public domain W3C validator