Theorem predpo 5615

Description: Property of the precessor class for partial orderings. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
predpo	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem predpo

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		predel 5614	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐴)
2		elpredg 5611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
3	2	adantll 746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
4		potr 4971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋))
5	4	3exp2 1277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))))
6	5	com24 93	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))))
7	6	imp31 447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))
8	7	com13 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑋) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑧𝑅𝑋)))
9	8	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧𝑅𝑌 → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑧𝑅𝑋))))
10	9	com14 94	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋))))
11	3, 10	sylbid 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋))))
12	11	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋)))))
13	12	com23 84	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋)))))
14	13	3imp 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧𝑅𝑌 → 𝑧𝑅𝑋)))
15	14	imdistand 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑌) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
16		vex 3176	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
17	16	elpred 5610	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑌)))
18	17	3ad2ant3 1077	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑌)))
19	16	elpred 5610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
21	20	3ad2ant1 1075	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑋)))
22	15, 18, 21	3imtr4d 282	. . . 4 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) → 𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
23	22	ssrdv 3574	. . 3 ⊢ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
24	23	3exp 1256	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑌 ∈ 𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
25	1, 24	mpdi 44	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   Po wpo 4957  Predcpred 5596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-po 4959  df-xp 5044  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597

This theorem is referenced by:  predso  5616  trpredpo  30979