Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmulrfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmulrfval 15959
 Description: Value of a structure product's ring product at a single coordinate. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsmulrval.t · = (.r𝑌)
prdsmulrfval.j (𝜑𝐽𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdsmulrfval (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))

Proof of Theorem prdsmulrfval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsbasmpt.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbasmpt.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsbasmpt.r . . . 4 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
6 prdsplusgval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
7 prdsplusgval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
8 prdsmulrval.t . . . 4 · = (.r𝑌)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8prdsmulrval 15958 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
109fveq1d 6105 . 2 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽))
11 prdsmulrfval.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
12 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐽 → (𝑅𝑥) = (𝑅𝐽))
1312fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (.r‘(𝑅𝑥)) = (.r‘(𝑅𝐽)))
14 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐽))
15 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝐽))
1613, 14, 15oveq123d 6570 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
17 eqid 2610 . . . 4 (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
18 ovex 6577 . . . 4 ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 6191 . . 3 (𝐽𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
2011, 19syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
2110, 20eqtrd 2644 1 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  Xscprds 15929 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-prds 15931 This theorem is referenced by:  prdsringd  18435
 Copyright terms: Public domain W3C validator