Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pol1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pol1N 34214
 Description: The polarity of the whole projective subspace is the empty space. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polssat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pol1N (𝐾 ∈ HL → ( 𝐴) = ∅)

Proof of Theorem pol1N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3587 . . 3 𝐴𝐴
2 eqid 2610 . . . 4 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 eqid 2610 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4 polssat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 eqid 2610 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
6 polssat.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
72, 3, 4, 5, 6polval2N 34210 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐴𝐴) → ( 𝐴) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))))
81, 7mpan2 703 . 2 (𝐾 ∈ HL → ( 𝐴) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))))
9 hlop 33667 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1110, 4atbase 33594 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
12 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
1410, 12, 13ople1 33496 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
159, 11, 14syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
1615ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → ∀𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
17 rabid2 3096 . . . . . . . 8 (𝐴 = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)} ↔ ∀𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
1816, 17sylibr 223 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐴 = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)})
1918fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → ((lub‘𝐾)‘𝐴) = ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}))
20 hlomcmat 33669 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
2110, 13op1cl 33490 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
229, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
2310, 12, 2, 4atlatmstc 33624 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}) = (1.‘𝐾))
2420, 22, 23syl2anc 691 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}) = (1.‘𝐾))
2519, 24eqtr2d 2645 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) = ((lub‘𝐾)‘𝐴))
2625fveq2d 6107 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴)))
27 eqid 2610 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2827, 13, 3opoc1 33507 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
299, 28syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
3026, 29eqtr3d 2646 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴)) = (0.‘𝐾))
3130fveq2d 6107 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
32 hlatl 33665 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3327, 5pmap0 34069 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
3432, 33syl 17 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
358, 31, 343eqtrd 2648 1 (𝐾 ∈ HL → ( 𝐴) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  occoc 15776  lubclub 16765  0.cp0 16860  1.cp1 16861  CLatccla 16930  OPcops 33477  OMLcoml 33480  Atomscatm 33568  AtLatcal 33569  HLchlt 33655  pmapcpmap 33801  ⊥𝑃cpolN 34206 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-undef 7286  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-pmap 33808  df-polarityN 34207 This theorem is referenced by:  2pol0N  34215  1psubclN  34248
 Copyright terms: Public domain W3C validator