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Theorem pockthi 15449
 Description: Pocklington's theorem, which gives a sufficient criterion for a number 𝑁 to be prime. This is the preferred method for verifying large primes, being much more efficient to compute than trial division. This form has been optimized for application to specific large primes; see pockthg 15448 for a more general closed-form version. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthi.p 𝑃 ∈ ℙ
pockthi.g 𝐺 ∈ ℕ
pockthi.m 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
pockthi.n 𝑁 = (𝑀 + 1)
pockthi.d 𝐷 ∈ ℕ
pockthi.e 𝐸 ∈ ℕ
pockthi.a 𝐴 ∈ ℕ
pockthi.fac 𝑀 = (𝐷 · (𝑃𝐸))
pockthi.gt 𝐷 < (𝑃𝐸)
pockthi.mod ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
pockthi.gcd (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
Assertion
Ref Expression
pockthi 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem pockthi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthi.d . 2 𝐷 ∈ ℕ
2 pockthi.p . . . . . 6 𝑃 ∈ ℙ
3 prmnn 15226 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 𝑃 ∈ ℕ
5 pockthi.e . . . . . 6 𝐸 ∈ ℕ
65nnnn0i 11177 . . . . 5 𝐸 ∈ ℕ0
7 nnexpcl 12735 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐸) ∈ ℕ)
84, 6, 7mp2an 704 . . . 4 (𝑃𝐸) ∈ ℕ
98a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → (𝑃𝐸) ∈ ℕ)
10 id 22 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℕ)
11 pockthi.gt . . . 4 𝐷 < (𝑃𝐸)
1211a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 < (𝑃𝐸))
13 pockthi.n . . . . 5 𝑁 = (𝑀 + 1)
14 pockthi.fac . . . . . . 7 𝑀 = (𝐷 · (𝑃𝐸))
151nncni 10907 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℂ
168nncni 10907 . . . . . . . 8 (𝑃𝐸) ∈ ℂ
1715, 16mulcomi 9925 . . . . . . 7 (𝐷 · (𝑃𝐸)) = ((𝑃𝐸) · 𝐷)
1814, 17eqtri 2632 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑃𝐸) · 𝐷)
1918oveq1i 6559 . . . . 5 (𝑀 + 1) = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1)
2013, 19eqtri 2632 . . . 4 𝑁 = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1)
2120a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1))
22 prmdvdsexpb 15266 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
232, 5, 22mp3an23 1408 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
2413eqcomi 2619 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 + 1) = 𝑁
25 pockthi.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
26 pockthi.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 ∈ ℕ
2726, 4nnmulcli 10921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 · 𝑃) ∈ ℕ
2825, 27eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 ∈ ℕ
29 peano2nn 10909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 + 1) ∈ ℕ
3113, 30eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 ∈ ℕ
3231nncni 10907 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 ∈ ℂ
33 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
3428nncni 10907 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ ℂ
3532, 33, 34subadd2i 10248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − 1) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 1) = 𝑁)
3624, 35mpbir 220 . . . . . . . . . 10 (𝑁 − 1) = 𝑀
3736oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 (𝐴↑(𝑁 − 1)) = (𝐴𝑀)
3837oveq1i 6559 . . . . . . . 8 ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴𝑀) mod 𝑁)
39 pockthi.mod . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
4031nnrei 10906 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℝ
4128nngt0i 10931 . . . . . . . . . . . 12 0 < 𝑀
4228nnrei 10906 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 ∈ ℝ
43 1re 9918 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
44 ltaddpos2 10398 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
4542, 43, 44mp2an 704 . . . . . . . . . . . 12 (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1))
4641, 45mpbi 219 . . . . . . . . . . 11 1 < (𝑀 + 1)
4746, 13breqtrri 4610 . . . . . . . . . 10 1 < 𝑁
48 1mod 12564 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
4940, 47, 48mp2an 704 . . . . . . . . 9 (1 mod 𝑁) = 1
5039, 49eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = 1
5138, 50eqtri 2632 . . . . . . 7 ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1
52 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = ((𝑁 − 1) / 𝑃))
5326nncni 10907 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 ∈ ℂ
544nncni 10907 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 ∈ ℂ
5553, 54mulcomi 9925 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐺)
5636, 25, 553eqtrri 2637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1)
5732, 33subcli 10236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 − 1) ∈ ℂ
584nnne0i 10932 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 ≠ 0
5957, 54, 53, 58divmuli 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺 ↔ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1))
6056, 59mpbir 220 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺
6152, 60syl6eq 2660 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = 𝐺)
6261oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑃 → (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴𝐺))
6362oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑃 → ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴𝐺) − 1))
6463oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁))
65 pockthi.gcd . . . . . . . 8 (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
6664, 65syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
67 pockthi.a . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℕ
6867nnzi 11278 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℤ
69 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
7069oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁))
7170eqeq1d 2612 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1))
72 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)))
7372oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1))
7473oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁))
7574eqeq1d 2612 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7671, 75anbi12d 743 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
7776rspcev 3282 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7868, 77mpan 702 . . . . . . 7 ((((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7951, 66, 78sylancr 694 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑃 → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
8023, 79syl6bi 242 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
8180rgen 2906 . . . 4 𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
8281a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
839, 10, 12, 21, 82pockthg 15448 . 2 (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℙ)
841, 83ax-mp 5 1 𝑁 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254   mod cmo 12530  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821   gcd cgcd 15054  ℙcprime 15223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-odz 15308  df-phi 15309  df-pc 15380 This theorem is referenced by:  1259prm  15681  2503prm  15685  4001prm  15690
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