Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfmvdn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfmvdn0 17705
 Description: A transposition moves at least one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfmvdn0 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)

Proof of Theorem pmtrfmvdn0
StepHypRef Expression
1 2on0 7456 . 2 2𝑜 ≠ ∅
2 pmtrrn.t . . . . . . . 8 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3 pmtrrn.r . . . . . . . 8 𝑅 = ran 𝑇
4 eqid 2610 . . . . . . . 8 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
52, 3, 4pmtrfrn 17701 . . . . . . 7 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
65simpld 474 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
76simp3d 1068 . . . . 5 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
8 enen1 7985 . . . . 5 (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2𝑜 ≈ ∅))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2𝑜 ≈ ∅))
10 en0 7905 . . . 4 (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ dom (𝐹 ∖ I ) = ∅)
11 en0 7905 . . . 4 (2𝑜 ≈ ∅ ↔ 2𝑜 = ∅)
129, 10, 113bitr3g 301 . . 3 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = ∅ ↔ 2𝑜 = ∅))
1312necon3bid 2826 . 2 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ 2𝑜 ≠ ∅))
141, 13mpbiri 247 1 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   I cid 4948  dom cdm 5038  ran crn 5039  ‘cfv 5804  2𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838  pmTrspcpmtr 17684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-pmtr 17685 This theorem is referenced by:  psgnunilem3  17739
 Copyright terms: Public domain W3C validator