Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifellem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifellem1 17719
 Description: Lemma 1 for pmtrdifel 17723. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifellem1 (𝑄𝑇𝑆𝑅)

Proof of Theorem pmtrdifellem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2 pmtrdifel.t . . 3 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
31, 2pmtrfb 17708 . 2 (𝑄𝑇 ↔ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
4 difsnexi 6864 . . 3 ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V → 𝑁 ∈ V)
5 f1of 6050 . . . 4 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
6 fdm 5964 . . . 4 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
7 difssd 3700 . . . . . 6 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑄)
8 dmss 5245 . . . . . 6 ((𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑄 → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ dom 𝑄)
97, 8syl 17 . . . . 5 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ dom 𝑄)
10 difssd 3700 . . . . . 6 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
11 sseq1 3589 . . . . . 6 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → (dom 𝑄𝑁 ↔ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁))
1210, 11mpbird 246 . . . . 5 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom 𝑄𝑁)
139, 12sstrd 3578 . . . 4 (dom 𝑄 = (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
145, 6, 133syl 18 . . 3 (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
15 id 22 . . 3 (dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2𝑜 → dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
16 pmtrdifel.0 . . . 4 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
17 eqid 2610 . . . . 5 (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
18 pmtrdifel.r . . . . 5 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
1917, 18pmtrrn 17700 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I )) ∈ 𝑅)
2016, 19syl5eqel 2692 . . 3 ((𝑁 ∈ V ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ⊆ 𝑁 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → 𝑆𝑅)
214, 14, 15, 20syl3an 1360 . 2 (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ V ∧ 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → 𝑆𝑅)
223, 21sylbi 206 1 (𝑄𝑇𝑆𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   I cid 4948  dom cdm 5038  ran crn 5039  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  2𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838  pmTrspcpmtr 17684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pmtr 17685 This theorem is referenced by:  pmtrdifellem3  17721  pmtrdifellem4  17722  pmtrdifel  17723  pmtrdifwrdellem1  17724  pmtrdifwrdellem2  17725
 Copyright terms: Public domain W3C validator