Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapojoinN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapojoinN 34272
 Description: For orthogonal elements, projective map of join equals projective sum. Compare pmapjoin 34156 where only one direction holds. (Contributed by NM, 11-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapojoin.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapojoin.l = (le‘𝐾)
pmapojoin.j = (join‘𝐾)
pmapojoin.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapojoin.o = (oc‘𝐾)
pmapojoin.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapojoinN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))

Proof of Theorem pmapojoinN
StepHypRef Expression
1 pmapojoin.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 pmapojoin.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 pmapojoin.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4 pmapojoin.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
5 eqid 2610 . . . 4 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5pmapj2N 34233 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))
76adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))
8 simpl1 1057 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
9 simpl2 1058 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → 𝑋𝐵)
10 eqid 2610 . . . . . 6 (PSubCl‘𝐾) = (PSubCl‘𝐾)
111, 3, 10pmapsubclN 34250 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
128, 9, 11syl2anc 691 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾))
13 simpl3 1059 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → 𝑌𝐵)
141, 3, 10pmapsubclN 34250 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
158, 13, 14syl2anc 691 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾))
16 hlop 33667 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
17163ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18 simp3 1056 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
19 pmapojoin.o . . . . . . . . 9 = (oc‘𝐾)
201, 19opoccl 33499 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
2117, 18, 20syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
22 pmapojoin.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
231, 22, 3pmaple 34065 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ( 𝑌) ↔ (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘( 𝑌))))
2421, 23syld3an3 1363 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 ( 𝑌) ↔ (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘( 𝑌))))
2524biimpa 500 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀‘( 𝑌)))
261, 19, 3, 5polpmapN 34216 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌)) = (𝑀‘( 𝑌)))
278, 13, 26syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌)) = (𝑀‘( 𝑌)))
2825, 27sseqtr4d 3605 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀𝑋) ⊆ ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌)))
294, 5, 10osumclN 34271 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀𝑋) ∈ (PSubCl‘𝐾) ∧ (𝑀𝑌) ∈ (PSubCl‘𝐾)) ∧ (𝑀𝑋) ⊆ ((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑌))) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
308, 12, 15, 28, 29syl31anc 1321 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾))
315, 10psubcli2N 34243 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)) ∈ (PSubCl‘𝐾)) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))
328, 30, 31syl2anc 691 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))
337, 32eqtrd 2644 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 ( 𝑌)) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  occoc 15776  joincjn 16767  OPcops 33477  HLchlt 33655  pmapcpmap 33801  +𝑃cpadd 34099  ⊥𝑃cpolN 34206  PSubClcpscN 34238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-polarityN 34207  df-psubclN 34239 This theorem is referenced by:  pl42lem1N  34283
 Copyright terms: Public domain W3C validator