Theorem pmapocjN 34234

Description: The projective map of the orthocomplement of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapocj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapocj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapocj.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pmapocj.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pmapocj.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pmapocj.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pmapocj.r	⊢ 𝑁 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapocjN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))

Proof of Theorem pmapocjN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapocj.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pmapocj.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		pmapocj.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
4		pmapocj.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5		pmapocj.r	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmapj2N 34233	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))))
7	6	fveq2d 6107	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))))
8		simp1 1054	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
9		hllat 33668	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
10	1, 2	latjcl 16874	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl3an1 1351	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
12		pmapocj.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
13	1, 12, 3, 5	polpmapN 34216	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
14	8, 11, 13	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
15		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
16	1, 15, 3	pmapssat 34063	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
17	16	3adant3 1074	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
18	1, 15, 3	pmapssat 34063	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
19	18	3adant2 1073	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
20	15, 4	paddssat 34118	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
21	8, 17, 19, 20	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
22	15, 5	3polN 34220	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))
23	8, 21, 22	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))
24	7, 14, 23	3eqtr3d 2652	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  occoc 15776  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  pmapcpmap 33801  +_𝑃cpadd 34099  ⊥_𝑃cpolN 34206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-polarityN 34207

This theorem is referenced by: (None)