MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1term Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1term 23764
Description: A one-term polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1term.1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧𝑁)))
Assertion
Ref Expression
ply1term ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁   𝑧,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem ply1term
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel2 3563 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 ply1term.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧𝑁)))
32ply1termlem 23763 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧𝑘))))
41, 3stoic3 1692 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧𝑘))))
5 simp1 1054 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6 0cnd 9912 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
76snssd 4281 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℂ)
85, 7unssd 3751 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
9 simp3 1056 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 simpl2 1058 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
11 elun1 3742 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
13 ssun2 3739 . . . . . 6 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
14 c0ex 9913 . . . . . . 7 0 ∈ V
1514snss 4259 . . . . . 6 (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
1613, 15mpbir 220 . . . . 5 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
17 ifcl 4080 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
1812, 16, 17sylancl 693 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
198, 9, 18elplyd 23762 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
204, 19eqeltrd 2688 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
21 plyun0 23757 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
2220, 21syl6eleq 2698 1 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cun 3538  wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125  cmpt 4643  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820  0cn0 11169  ...cfz 12197  cexp 12722  Σcsu 14264  Polycply 23744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-ply 23748
This theorem is referenced by:  plypow  23765  plyconst  23766  coe1termlem  23818  dgrcolem2  23834  plydivlem4  23855
  Copyright terms: Public domain W3C validator