Theorem ply1term 23764

Description: A one-term polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1term.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
ply1term	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁   𝑧,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem ply1term

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3563	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ply1term.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
3	2	ply1termlem 23763	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))
4	1, 3	stoic3 1692	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))
5		simp1 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		0cnd 9912	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
7	6	snssd 4281	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℂ)
8	5, 7	unssd 3751	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
9		simp3 1056	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpl2 1058	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
11		elun1 3742	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
13		ssun2 3739	. . . . . 6 ⊢ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
14		c0ex 9913	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
15	14	snss 4259	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
16	13, 15	mpbir 220	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
17		ifcl 4080	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
18	12, 16, 17	sylancl 693	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
19	8, 9, 18	elplyd 23762	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
20	4, 19	eqeltrd 2688	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
21		plyun0 23757	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
22	20, 21	syl6eleq 2698	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  Σcsu 14264  Polycply 23744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-ply 23748

This theorem is referenced by:  plypow  23765  plyconst  23766  coe1termlem  23818  dgrcolem2  23834  plydivlem4  23855