Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1lss 19387
 Description: Univariate polynomials form a linear subspace of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1val.2 𝑆 = (PwSer1𝑅)
ply1bas.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
ply1lss (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

Proof of Theorem ply1lss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (1𝑜 mPwSer 𝑅) = (1𝑜 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2610 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
3 ply1val.1 . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 ply1val.2 . . . 4 𝑆 = (PwSer1𝑅)
5 ply1bas.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
63, 4, 5ply1bas 19386 . . 3 𝑈 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
7 1on 7454 . . . 4 1𝑜 ∈ On
87a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1𝑜 ∈ On)
9 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
101, 2, 6, 8, 9mpllss 19259 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))
11 eqidd 2611 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))
124psr1val 19377 . . . 4 𝑆 = ((1𝑜 ordPwSer 𝑅)‘∅)
13 0ss 3924 . . . . 5 ∅ ⊆ (1𝑜 × 1𝑜)
1413a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ⊆ (1𝑜 × 1𝑜))
151, 12, 14opsrbas 19300 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑆))
16 ssv 3588 . . . 4 (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) ⊆ V
1716a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) ⊆ V)
181, 12, 14opsrplusg 19301 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (+g‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (+g𝑆))
1918oveqdr 6573 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
20 ovex 6577 . . . 4 (𝑥( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))𝑦) ∈ V
2120a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))𝑦) ∈ V)
221, 12, 14opsrvsca 19303 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠𝑆))
2322oveqdr 6573 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦))
241, 8, 9psrsca 19210 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))
2524fveq2d 6107 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))))
261, 12, 14, 8, 9opsrsca 19304 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
2726fveq2d 6107 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
2811, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27lsspropd 18838 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (LSubSp‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (LSubSp‘𝑆))
2910, 28eleqtrd 2690 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   × cxp 5036  Oncon0 5640  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  Ringcrg 18370  LSubSpclss 18753   mPwSer cmps 19172   mPoly cmpl 19174  PwSer1cps1 19366  Poly1cpl1 19368 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ring 18372  df-lss 18754  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373 This theorem is referenced by:  ply1assa  19390  ply1lmod  19443
 Copyright terms: Public domain W3C validator