MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divalg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divalg2 23702
Description: Reverse the order of multiplication in ply1divalg 23701 via the opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1divalg.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1divalg.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m = (-g𝑃)
ply1divalg.z 0 = (0g𝑃)
ply1divalg.t = (.r𝑃)
ply1divalg.r1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f (𝜑𝐹𝐵)
ply1divalg.g1 (𝜑𝐺𝐵)
ply1divalg.g2 (𝜑𝐺0 )
ply1divalg.g3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈)
ply1divalg.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1divalg2 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ,𝑞   0 ,𝑞
Allowed substitution hint:   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg2
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (Poly1‘(oppr𝑅)) = (Poly1‘(oppr𝑅))
2 ply1divalg.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
3 eqidd 2611 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4 eqid 2610 . . . . . . . 8 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
5 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
64, 5opprbas 18452 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
76a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅)))
8 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
94, 8oppradd 18453 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g‘(oppr𝑅))
109oveqi 6562 . . . . . . 7 (𝑞(+g𝑅)𝑟) = (𝑞(+g‘(oppr𝑅))𝑟)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g𝑅)𝑟) = (𝑞(+g‘(oppr𝑅))𝑟))
123, 7, 11deg1propd 23650 . . . . 5 (⊤ → ( deg1𝑅) = ( deg1 ‘(oppr𝑅)))
1312trud 1484 . . . 4 ( deg1𝑅) = ( deg1 ‘(oppr𝑅))
142, 13eqtri 2632 . . 3 𝐷 = ( deg1 ‘(oppr𝑅))
15 ply1divalg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
16 ply1divalg.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
1716fveq2i 6106 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1𝑅))
183, 7, 11ply1baspropd 19434 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
1918trud 1484 . . . . 5 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2017, 19eqtri 2632 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2115, 20eqtri 2632 . . 3 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
22 ply1divalg.m . . . 4 = (-g𝑃)
2320a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
2416fveq2i 6106 . . . . . . . 8 (+g𝑃) = (+g‘(Poly1𝑅))
253, 7, 11ply1plusgpropd 19435 . . . . . . . . 9 (⊤ → (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
2625trud 1484 . . . . . . . 8 (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2724, 26eqtri 2632 . . . . . . 7 (+g𝑃) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2827a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (+g𝑃) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
2923, 28grpsubpropd 17343 . . . . 5 (⊤ → (-g𝑃) = (-g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
3029trud 1484 . . . 4 (-g𝑃) = (-g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
3122, 30eqtri 2632 . . 3 = (-g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
32 ply1divalg.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
3315a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐵 = (Base‘𝑃))
3421a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
3527oveqi 6562 . . . . . . 7 (𝑞(+g𝑃)𝑟) = (𝑞(+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑟)
3635a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞(+g𝑃)𝑟) = (𝑞(+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑟))
3733, 34, 36grpidpropd 17084 . . . . 5 (⊤ → (0g𝑃) = (0g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
3837trud 1484 . . . 4 (0g𝑃) = (0g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
3932, 38eqtri 2632 . . 3 0 = (0g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
40 eqid 2610 . . 3 (.r‘(Poly1‘(oppr𝑅))) = (.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
41 ply1divalg.r1 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
424opprring 18454 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (oppr𝑅) ∈ Ring)
4341, 42syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppr𝑅) ∈ Ring)
44 ply1divalg.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
45 ply1divalg.g1 . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
46 ply1divalg.g2 . . 3 (𝜑𝐺0 )
47 ply1divalg.g3 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈)
48 ply1divalg.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4948, 4opprunit 18484 . . 3 𝑈 = (Unit‘(oppr𝑅))
501, 14, 21, 31, 39, 40, 43, 44, 45, 46, 47, 49ply1divalg 23701 . 2 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))) < (𝐷𝐺))
5141adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
5245adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝐺𝐵)
53 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝑞𝐵)
54 ply1divalg.t . . . . . . . . 9 = (.r𝑃)
5516, 4, 1, 54, 40, 15ply1opprmul 19430 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝑞𝐵) → (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞) = (𝑞 𝐺))
5651, 52, 53, 55syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞) = (𝑞 𝐺))
5756eqcomd 2616 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝑞 𝐺) = (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))
5857oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐹 (𝑞 𝐺)) = (𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞)))
5958fveq2d 6107 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))))
6059breq1d 4593 . . 3 ((𝜑𝑞𝐵) → ((𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))) < (𝐷𝐺)))
6160reubidva 3102 . 2 (𝜑 → (∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))) < (𝐷𝐺)))
6250, 61mpbird 246 1 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wtru 1476  wcel 1977  wne 2780  ∃!wreu 2898   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549   < clt 9953  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  -gcsg 17247  Ringcrg 18370  opprcoppr 18445  Unitcui 18462  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369   deg1 cdg1 23618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-rlreg 19104  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620
This theorem is referenced by:  q1peqb  23718
  Copyright terms: Public domain W3C validator