MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pltval 16783
Description: Less-than relation. (df-pss 3556 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltval.l = (le‘𝐾)
pltval.s < = (lt‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pltval ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))

Proof of Theorem pltval
StepHypRef Expression
1 pltval.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
2 pltval.s . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
31, 2pltfval 16782 . . . 4 (𝐾𝐴< = ( ∖ I ))
43breqd 4594 . . 3 (𝐾𝐴 → (𝑋 < 𝑌𝑋( ∖ I )𝑌))
5 brdif 4635 . . . 4 (𝑋( ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌))
6 ideqg 5195 . . . . . . 7 (𝑌𝐶 → (𝑋 I 𝑌𝑋 = 𝑌))
76necon3bbid 2819 . . . . . 6 (𝑌𝐶 → (¬ 𝑋 I 𝑌𝑋𝑌))
87adantl 481 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐶) → (¬ 𝑋 I 𝑌𝑋𝑌))
98anbi2d 736 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐶) → ((𝑋 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌) ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
105, 9syl5bb 271 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋( ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
114, 10sylan9bb 732 . 2 ((𝐾𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐶)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
12113impb 1252 1 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cdif 3537   class class class wbr 4583   I cid 4948  cfv 5804  lecple 15775  ltcplt 16764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-plt 16781
This theorem is referenced by:  pltle  16784  pltne  16785  pleval2i  16787  pltnle  16789  pltval3  16790  plttr  16793  latnlemlt  16907  latnle  16908  ipolt  16982  ogrpaddlt  29049  ogrpsublt  29053  ornglmullt  29138  orngrmullt  29139  orngmullt  29140  ofldlt1  29144  opltn0  33495  cvrval2  33579  cvrnbtwn2  33580  cvrnbtwn3  33581  cvrle  33583  cvrnbtwn4  33584  cvrne  33586  atlltn0  33611  hlrelat5N  33705  llnle  33822  lplnle  33844  llncvrlpln2  33861  lplncvrlvol2  33919  lhp2lt  34305  lautlt  34395
  Copyright terms: Public domain W3C validator