MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pltne 16785
Description: Less-than relation. (df-pss 3556 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
pltne.s < = (lt‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pltne ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))

Proof of Theorem pltne
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 pltne.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
31, 2pltval 16783 . . 3 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋𝑌)))
43simplbda 652 . 2 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝑌)
54ex 449 1 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cfv 5804  lecple 15775  ltcplt 16764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-plt 16781
This theorem is referenced by:  pltirr  16786  ogrpaddlt  29049  ornglmullt  29138  orngrmullt  29139  ofldchr  29145  isarchiofld  29148  atlen0  33615  1cvratex  33777  ps-2  33782  lhpn0  34308
  Copyright terms: Public domain W3C validator