Theorem pl42lem4N 34286

Description: Lemma for pl42N 34287. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pl42lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42lem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pl42lem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pl42lem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pl42lem.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pl42lem.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pl42lem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pl42lem4N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))))))

Proof of Theorem pl42lem4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pl42lem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pl42lem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		pl42lem.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		pl42lem.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		pl42lem.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
6		pl42lem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
7		pl42lem.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pl42lem1N 34283	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) = (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉))))
9	8	3impia 1253	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊))) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) = (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pl42lem3N 34285	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))))
11		simpl1 1057	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
12		hllat 33668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
14		simpl2 1058	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
16	1, 15, 6	pmapsub 34072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾))
17	13, 14, 16	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾))
18		simpl3 1059	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
19	1, 15, 6	pmapsub 34072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ (PSubSp‘𝐾))
20	13, 18, 19	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌) ∈ (PSubSp‘𝐾))
21		simpr2 1061	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
22	1, 15, 6	pmapsub 34072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑊) ∈ (PSubSp‘𝐾))
23	13, 21, 22	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑊) ∈ (PSubSp‘𝐾))
24		simpr3 1062	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
25	1, 15, 6	pmapsub 34072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑉) ∈ (PSubSp‘𝐾))
26	13, 24, 25	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑉) ∈ (PSubSp‘𝐾))
27	15, 7	pmodl42N 34155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ ((𝐹‘𝑊) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))) = (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))))
28	11, 17, 20, 23, 26, 27	syl32anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))) = (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pl42lem2N 34284	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
30	28, 29	eqsstrd 3602	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
31	10, 30	sstrd 3578	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
32	31	3adant3 1074	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊))) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
33	9, 32	eqsstrd 3602	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊))) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
34	33	3expia 1259	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  occoc 15776  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868  HLchlt 33655  PSubSpcpsubsp 33800  pmapcpmap 33801  +_𝑃cpadd 34099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-polarityN 34207  df-psubclN 34239

This theorem is referenced by:  pl42N  34287