Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pl42N 34287
 Description: Law holding in a Hilbert lattice that fails in orthomodular lattice L42 (Figure 7 in [MegPav2000] p. 2366). (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42.l = (le‘𝐾)
pl42.j = (join‘𝐾)
pl42.m = (meet‘𝐾)
pl42.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pl42N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊)) → ((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉) ((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))

Proof of Theorem pl42N
StepHypRef Expression
1 pl42.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 pl42.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 pl42.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 pl42.m . . 3 = (meet‘𝐾)
5 pl42.o . . 3 = (oc‘𝐾)
6 eqid 2610 . . 3 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
7 eqid 2610 . . 3 (+𝑃𝐾) = (+𝑃𝐾)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem4N 34286 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊)) → ((pmap‘𝐾)‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))))))
9 simpl1 1057 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
10 hllat 33668 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
119, 10syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
12 simpl2 1058 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑋𝐵)
13 simpl3 1059 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑌𝐵)
141, 3latjcl 16874 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
1511, 12, 13, 14syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
16 simpr1 1060 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑍𝐵)
171, 4latmcl 16875 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)
1811, 15, 16, 17syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)
19 simpr2 1061 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑊𝐵)
201, 3latjcl 16874 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → (((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) ∈ 𝐵)
2111, 18, 19, 20syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) ∈ 𝐵)
22 simpr3 1062 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑉𝐵)
231, 4latmcl 16875 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) ∈ 𝐵𝑉𝐵) → ((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉) ∈ 𝐵)
2411, 21, 22, 23syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉) ∈ 𝐵)
251, 3latjcl 16874 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
2611, 12, 19, 25syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
271, 3latjcl 16874 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑉𝐵) → (𝑌 𝑉) ∈ 𝐵)
2811, 13, 22, 27syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝑌 𝑉) ∈ 𝐵)
291, 4latmcl 16875 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑉) ∈ 𝐵) → ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)) ∈ 𝐵)
3011, 26, 28, 29syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)) ∈ 𝐵)
311, 3latjcl 16874 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)) ∈ 𝐵) → ((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) ∈ 𝐵)
3211, 15, 30, 31syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) ∈ 𝐵)
331, 2, 6pmaple 34065 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) ∈ 𝐵) → (((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉) ((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) ↔ ((pmap‘𝐾)‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))))))
349, 24, 32, 33syl3anc 1318 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉) ((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) ↔ ((pmap‘𝐾)‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) ⊆ ((pmap‘𝐾)‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))))))
358, 34sylibrd 248 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊)) → ((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉) ((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  occoc 15776  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868  HLchlt 33655  pmapcpmap 33801  +𝑃cpadd 34099 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-polarityN 34207  df-psubclN 34239 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator