Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjhthlem2 27635
 Description: Lemma for pjhth 27636. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjhth.1 𝐻C
pjhth.2 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
Assertion
Ref Expression
pjhthlem2 (𝜑 → ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐻,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem pjhthlem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhth.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → 𝐴 ∈ ℋ)
3 pjhth.1 . . . . . . 7 𝐻C
43cheli 27473 . . . . . 6 (𝑥𝐻𝑥 ∈ ℋ)
54ad2antrl 760 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℋ)
6 hvsubcl 27258 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 𝑥) ∈ ℋ)
72, 5, 6syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → (𝐴 𝑥) ∈ ℋ)
82adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
9 simplrl 796 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → 𝑥𝐻)
10 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → 𝑦𝐻)
11 simplrr 797 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))
12 eqid 2610 . . . . . 6 (((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) / ((𝑦 ·ih 𝑦) + 1)) = (((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) / ((𝑦 ·ih 𝑦) + 1))
133, 8, 9, 10, 11, 12pjhthlem1 27634 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → ((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)
1413ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → ∀𝑦𝐻 ((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)
153chshii 27468 . . . . 5 𝐻S
16 shocel 27525 . . . . 5 (𝐻S → ((𝐴 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((𝐴 𝑥) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦𝐻 ((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((𝐴 𝑥) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦𝐻 ((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) = 0))
187, 14, 17sylanbrc 695 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → (𝐴 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻))
19 hvpncan3 27283 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) = 𝐴)
205, 2, 19syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) = 𝐴)
2120eqcomd 2616 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → 𝐴 = (𝑥 + (𝐴 𝑥)))
22 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 𝑥) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + (𝐴 𝑥)))
2322eqeq2d 2620 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 𝑥) → (𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 + (𝐴 𝑥))))
2423rspcev 3282 . . 3 (((𝐴 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (𝐴 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
2518, 21, 24syl2anc 691 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
26 df-hba 27210 . . . 4 ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
27 eqid 2610 . . . . 5 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2827hhvs 27411 . . . 4 = ( −𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
2927hhnm 27412 . . . 4 norm = (normCV‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
30 eqid 2610 . . . . 5 ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
3130, 15hhssba 27512 . . . 4 𝐻 = (BaseSet‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)
3227hhph 27419 . . . . 5 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ CPreHilOLD
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ CPreHilOLD)
3427, 30hhsst 27507 . . . . . . 7 (𝐻S → ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
3515, 34ax-mp 5 . . . . . 6 ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3630, 3hhssbn 27521 . . . . . 6 ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ CBan
37 elin 3758 . . . . . 6 (⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∩ CBan) ↔ (⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∧ ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ CBan))
3835, 36, 37mpbir2an 957 . . . . 5 ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∩ CBan)
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∩ CBan))
4026, 28, 29, 31, 33, 39, 1minveco 27124 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑥𝐻𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))
41 reurex 3137 . . 3 (∃!𝑥𝐻𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)) → ∃𝑥𝐻𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))
4240, 41syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐻𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))
4325, 42reximddv 3001 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∃!wreu 2898   ∩ cin 3539  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  SubSpcss 26960  CPreHilOLDccphlo 27051  CBanccbn 27102   ℋchil 27160   +ℎ cva 27161   ·ℎ csm 27162   ·ih csp 27163  normℎcno 27164   −ℎ cmv 27166   Sℋ csh 27169   Cℋ cch 27170  ⊥cort 27171 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lm 20843  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494 This theorem is referenced by:  pjhth  27636  omlsii  27646
 Copyright terms: Public domain W3C validator