Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrf 22661
 Description: Functionality of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
pi1xfrval.2 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
Assertion
Ref Expression
pi1xfrf (𝜑𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   𝜑,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrf
Dummy variables 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
2 pi1xfr.p . . . . 5 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
3 pi1xfr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 pi1xfr.j . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
54adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 iitopon 22490 . . . . . . . . 9 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
8 pi1xfr.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9 cnf2 20863 . . . . . . . 8 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
107, 4, 8, 9syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
11 0elunit 12161 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
12 ffvelrn 6265 . . . . . . 7 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
1310, 11, 12sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
1413adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘0) ∈ 𝑋)
153a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
162, 4, 13, 15pi1eluni 22650 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0))))
1716biimpa 500 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑔‘0) = (𝐹‘0) ∧ (𝑔‘1) = (𝐹‘0)))
1817simp1d 1066 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
1917simp2d 1067 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
2017simp3d 1068 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
212, 3, 5, 14, 18, 19, 20elpi1i 22654 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝐵) → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ 𝐵)
22 pi1xfr.q . . . . 5 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
23 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
24 1elunit 12162 . . . . . . 7 1 ∈ (0[,]1)
25 ffvelrn 6265 . . . . . . 7 ((𝐹:(0[,]1)⟶𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
2610, 24, 25sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
2726adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘1) ∈ 𝑋)
28 pi1xfrval.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
308adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3118, 30, 20pcocn 22625 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
3218, 30pco0 22622 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
33 pi1xfrval.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3433adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3519, 32, 343eqtr4rd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
3629, 31, 35pcocn 22625 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) ∈ (II Cn 𝐽))
3729, 31pco0 22622 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐼‘0))
38 pi1xfrval.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
3938adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
4037, 39eqtr4d 2647 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘0) = (𝐹‘1))
4129, 31pco1 22623 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
4218, 30pco1 22623 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
4341, 42eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝑔 𝐵) → ((𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))‘1) = (𝐹‘1))
4422, 23, 5, 27, 36, 40, 43elpi1i 22654 . . . 4 ((𝜑𝑔 𝐵) → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘𝑄))
45 eceq1 7669 . . . 4 (𝑔 = → [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))
46 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑔 = → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) = ((*𝑝𝐽)𝐹))
4746oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑔 = → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))
4847eceq1d 7670 . . . 4 (𝑔 = → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
49 phtpcer 22602 . . . . . 6 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
5049a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
51193ad2antr1 1219 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔‘0) = (𝐹‘0))
52183ad2antr1 1219 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
538adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5452, 53pco0 22622 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝑔‘0))
5533adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
5651, 54, 553eqtr4rd 2655 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐼‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
5728adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
5850, 57erref 7649 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐼( ≃ph𝐽)𝐼)
59203ad2antr1 1219 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔‘1) = (𝐹‘0))
60 simpr3 1062 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))
6150, 52erth 7678 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔( ≃ph𝐽) ↔ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽)))
6260, 61mpbird 246 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝑔( ≃ph𝐽))
6350, 53erref 7649 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐹)
6459, 62, 63pcohtpy 22628 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))
6556, 58, 64pcohtpy 22628 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))( ≃ph𝐽)(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹)))
6650, 65erthi 7680 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔 𝐵 𝐵 ∧ [𝑔]( ≃ph𝐽) = []( ≃ph𝐽))) → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
671, 21, 44, 45, 48, 66fliftfund 6463 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐺)
681, 21, 44fliftf 6465 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐺:ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
6967, 68mpbid 221 . 2 (𝜑𝐺:ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄))
702, 4, 13, 15pi1bas2 22649 . . . 4 (𝜑𝐵 = ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)))
71 df-qs 7635 . . . . 5 ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph𝐽)}
72 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)) = (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))
7372rnmpt 5292 . . . . 5 ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)) = {𝑠 ∣ ∃𝑔 𝐵𝑠 = [𝑔]( ≃ph𝐽)}
7471, 73eqtr4i 2635 . . . 4 ( 𝐵 / ( ≃ph𝐽)) = ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))
7570, 74syl6eq 2660 . . 3 (𝜑𝐵 = ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽)))
7675feq2d 5944 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) ↔ 𝐺:ran (𝑔 𝐵 ↦ [𝑔]( ≃ph𝐽))⟶(Base‘𝑄)))
7769, 76mpbird 246 1 (𝜑𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∃wrex 2897  ⟨cop 4131  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   Er wer 7626  [cec 7627   / cqs 7628  0cc0 9815  1c1 9816  [,]cicc 12049  Basecbs 15695  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838  IIcii 22486   ≃phcphtpc 22576  *𝑝cpco 22608   π1 cpi1 22611 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-qus 15992  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-ii 22488  df-htpy 22577  df-phtpy 22578  df-phtpc 22599  df-pco 22613  df-om1 22614  df-pi1 22616 This theorem is referenced by:  pi1xfrval  22662  pi1xfr  22663
 Copyright terms: Public domain W3C validator