Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpcco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phtpcco2 22607
 Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phtpcco2.f (𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺)
phtpcco2.p (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
phtpcco2 (𝜑 → (𝑃𝐹)( ≃ph𝐾)(𝑃𝐺))

Proof of Theorem phtpcco2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcco2.f . . . . 5 (𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺)
2 isphtpc 22601 . . . . 5 (𝐹( ≃ph𝐽)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅))
31, 2sylib 207 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅))
43simp1d 1066 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5 phtpcco2.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6 cnco 20880 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
74, 5, 6syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
83simp2d 1067 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9 cnco 20880 . . 3 ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑃𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
108, 5, 9syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝑃𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
113simp3d 1068 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅)
12 n0 3890 . . . 4 ((𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
1311, 12sylib 207 . . 3 (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
144adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
158adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
165adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
17 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
1814, 15, 16, 17phtpyco2 22597 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → (𝑃𝑓) ∈ ((𝑃𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃𝐺)))
19 ne0i 3880 . . . 4 ((𝑃𝑓) ∈ ((𝑃𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃𝐺)) → ((𝑃𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃𝐺)) ≠ ∅)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → ((𝑃𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃𝐺)) ≠ ∅)
2113, 20exlimddv 1850 . 2 (𝜑 → ((𝑃𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃𝐺)) ≠ ∅)
22 isphtpc 22601 . 2 ((𝑃𝐹)( ≃ph𝐾)(𝑃𝐺) ↔ ((𝑃𝐹) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑃𝐺) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((𝑃𝐹)(PHtpy‘𝐾)(𝑃𝐺)) ≠ ∅))
237, 10, 21, 22syl3anbrc 1239 1 (𝜑 → (𝑃𝐹)( ≃ph𝐾)(𝑃𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   Cn ccn 20838  IIcii 22486  PHtpycphtpy 22575   ≃phcphtpc 22576 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cn 20841  df-tx 21175  df-ii 22488  df-htpy 22577  df-phtpy 22578  df-phtpc 22599 This theorem is referenced by:  pi1cof  22667  cvmlift3lem1  30555
 Copyright terms: Public domain W3C validator