Theorem pfxfvlsw 40266

Description: The last symbol in a (not empty) prefix of a word. Could replace swrd0fvlsw 13295. (Contributed by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxfvlsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ( lastS ‘(𝑊 prefix 𝐿)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))

Proof of Theorem pfxfvlsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxcl 40249	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
3		lsw 13204	. . 3 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((#‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ( lastS ‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((#‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)))
5		1eluzge0 11608	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
6		fzss1 12251	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1...(#‘𝑊)) ⊆ (0...(#‘𝑊)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1...(#‘𝑊)) ⊆ (0...(#‘𝑊))
8	7	sseli 3564	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)))
9		pfxlen 40254	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
10	8, 9	sylan2 490	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
11	10	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((#‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1) = (𝐿 − 1))
12	11	fveq2d 6107	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((#‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)))
13		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
14	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)))
15		elfznn 12241	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ)
16		fzo0end 12426	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊)) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
19		pfxfv 40262	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
20	13, 14, 18, 19	syl3anc 1318	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
21	4, 12, 20	3eqtrd 2648	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ( lastS ‘(𝑊 prefix 𝐿)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   prefix cpfx 40244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-substr 13158  df-pfx 40245

This theorem is referenced by:  pfxtrcfvl  40268