Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundgt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellfundgt1 36465
Description: Weak lower bound on the Pell fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundgt1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundgt1
StepHypRef Expression
1 1red 9934 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
2 eldifi 3694 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
32peano2nnd 10914 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
43nnrpd 11746 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
54rpsqrtcld 13998 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
65rpred 11748 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
72nnrpd 11746 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ+)
87rpsqrtcld 13998 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
98rpred 11748 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
106, 9readdcld 9948 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
11 pellfundre 36463 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
12 sqrt1 13860 . . . . 5 (√‘1) = 1
1312, 1syl5eqel 2692 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ∈ ℝ)
1413, 13readdcld 9948 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ∈ ℝ)
15 1lt2 11071 . . . . 5 1 < 2
1612, 12oveq12i 6561 . . . . . 6 ((√‘1) + (√‘1)) = (1 + 1)
17 1p1e2 11011 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1816, 17eqtri 2632 . . . . 5 ((√‘1) + (√‘1)) = 2
1915, 18breqtrri 4610 . . . 4 1 < ((√‘1) + (√‘1))
2019a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘1) + (√‘1)))
213nnge1d 10940 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ (𝐷 + 1))
22 0le1 10430 . . . . . . 7 0 ≤ 1
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 1)
242nnred 10912 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ)
25 peano2re 10088 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
273nnnn0d 11228 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
2827nn0ge0d 11231 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ (𝐷 + 1))
291, 23, 26, 28sqrtled 14013 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ (𝐷 + 1) ↔ (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1))))
3021, 29mpbid 221 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
312nnge1d 10940 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ 𝐷)
322nnnn0d 11228 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3332nn0ge0d 11231 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 𝐷)
341, 23, 24, 33sqrtled 14013 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ 𝐷 ↔ (√‘1) ≤ (√‘𝐷)))
3531, 34mpbid 221 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘𝐷))
3613, 13, 6, 9, 30, 35le2addd 10525 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ≤ ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
371, 14, 10, 20, 36ltletrd 10076 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
38 pellfundge 36464 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))
391, 10, 11, 37, 38ltletrd 10076 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  cdif 3537   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cn 10897  2c2 10947  csqrt 13821  NNcsquarenn 36418  PellFundcpellfund 36422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-numer 15281  df-denom 15282  df-squarenn 36423  df-pell1qr 36424  df-pell14qr 36425  df-pell1234qr 36426  df-pellfund 36427
This theorem is referenced by:  pellfundex  36468  pellfundrp  36470  pellfundne1  36471  pellfund14  36480
  Copyright terms: Public domain W3C validator