Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrgap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrgap 36456
 Description: First-quadrant Pell solutions are bounded away from 1. (This particular bound allows us to prove exact values for the fundamental solution later.) (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrgap ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem pell1qrgap
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1qr 36429 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
21adantr 480 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
3 eldifi 3694 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
43ad4antr 764 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℕ)
5 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0))
6 simp-4r 803 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 < 𝐴)
7 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
86, 7breqtrd 4609 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 < (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
9 simprr 792 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
10 pell1qrgaplem 36455 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (1 < (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
114, 5, 8, 9, 10syl22anc 1319 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
1211, 7breqtrrd 4611 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴)
1312ex 449 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴))
1413rexlimdvva 3020 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴))
1514expimpd 627 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴))
162, 15sylbid 229 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴))
1716ex 449 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 < 𝐴 → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴)))
1817com23 84 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) → (1 < 𝐴 → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴)))
19183imp 1249 1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  ◻NNcsquarenn 36418  Pell1QRcpell1qr 36419 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-pell1qr 36424 This theorem is referenced by:  pell14qrgap  36457
 Copyright terms: Public domain W3C validator